Дайте доказательство для равенства: (3a-2b)³+(3a+2b)³=18a(3a²+4b²

Luna_V_Ocheredi_5559

28

Давайте докажем данное равенство, исходя из свойств алгебраических операций и дистрибутивного закона.

У нас есть равенство:
\((3a-2b)^3+(3a+2b)^3=18a(3a^2+4b^2)\)

Для начала, возводим в куб каждое слагаемое. Применим формулу куба суммы:

\((x+y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3\)

Применим эту формулу к обоим слагаемым нашего равенства:

\((3a-2b)^3 = (3a)^3+3(3a)^2(-2b)+3(3a)(-2b)^2+(-2b)^3\)

\((3a+2b)^3 = (3a)^3+3(3a)^2(2b)+3(3a)(2b)^2+(2b)^3\)

Теперь упростим эти выражения:

\(27a^3 - 54a^2b + 36ab^2 - 8b^3\)

\(27a^3 + 54a^2b + 36ab^2 + 8b^3\)

Теперь сложим две полученные суммы:

\(27a^3 - 54a^2b + 36ab^2 - 8b^3 + 27a^3 + 54a^2b + 36ab^2 + 8b^3\)

Замечаем, что множители \(a^3\) и \(b^3\) в обоих слагаемых складываются вместе, и множители \(54a^2b\) и \(-54a^2b\) компенсируют друг друга.

Теперь упростим это выражение:

\(54a^3 + 72ab^2\)

Теперь вынесем общий множитель 18a:

\(18a(3a^2 + 4b^2)\)

Таким образом, мы показали, что левая часть равенства \((3a-2b)^3 + (3a+2b)^3\) равна правой части \(18a(3a^2 + 4b^2)\).

Доказательство завершено.