Каковы наибольшее и наименьшее значение выражения 7cos 2a-5sin?

Magicheskiy_Kot

17

Выражение \(7\cos(2a) - 5\sin(a)\) состоит из тригонометрических функций, а именно косинуса и синуса. Чтобы найти максимальное и минимальное значения этого выражения, мы сначала должны понять, когда каждая из них достигает своих экстремальных значений.

Косинус имеет максимальное значение, равное 1, когда аргумент \((2a)\) находится в такой точке, что \(\cos(2a) = 1\). Это наблюдается при \(2a = 2k\pi\), где \(k\) - целое число. Решив это уравнение относительно \(a\), мы получим \(a = k\pi\), где \(k\) - целое число.

Синус имеет максимальное значение, равное 1, когда аргумент \(a\) находится в такой точке, что \(\sin(a) = 1\). Это наблюдается при \(a = \frac{\pi}{2} + 2k\pi\), где \(k\) - целое число.

Теперь, чтобы найти наибольшее значение выражения \(7\cos(2a) - 5\sin(a)\), мы должны заменить \(a\) на значения, при которых \(\cos(2a) = 1\) и \(\sin(a) = 1\).

Подставляя \(a = k\pi\) в выражение, получим:
\[7\cos(2k\pi) - 5\sin(k\pi)\]
Поскольку \(\cos(2k\pi) = 1\) и \(\sin(k\pi) = 0\) для всех целых \(k\), получаем:
\[7 - 0 = 7\]

Следовательно, наибольшее значение выражения равно 7.

Теперь найдем наименьшее значение выражения \(7\cos(2a) - 5\sin(a)\), заменив \(a\) на значения, при которых \(\cos(2a) = 1\) и \(\sin(a) = 1\).

Подставляя \(a = \frac{\pi}{2} + 2k\pi\) в выражение, получим:
\[7\cos(2(\frac{\pi}{2} + 2k\pi)) - 5\sin(\frac{\pi}{2} + 2k\pi)\]
Используя тригонометрические соотношения для косинуса и синуса угла суммы, получим:
\[7\cos(\pi + 4k\pi) - 5\sin(\frac{\pi}{2} + 2k\pi)\]
Учитывая, что \(\cos(\pi + 4k\pi) = -1\) и \(\sin(\frac{\pi}{2} + 2k\pi) = 1\) для всех целых \(k\), получаем:
\[-7 - 5 = -12\]

Следовательно, наименьшее значение выражение равно -12.

Таким образом, наибольшее значение выражения \(7\cos(2a) - 5\sin(a)\) равно 7, а наименьшее значение равно -12.