Для каких значений t трехчлен -t^2-(1/7)t-1/196 является отрицательным?

Тайсон

50

Для того чтобы определить, для каких значений \( t \) трехчлен \( -t^2 - \frac{1}{7}t - \frac{1}{196} \) является отрицательным, нам нужно найти условия, при которых значение этого трехчлена меньше нуля.

Для начала, давайте преобразуем данный трехчлен к более удобному виду.

Получим:
\[ -t^2 - \frac{1}{7}t - \frac{1}{196} < 0 \]

Умножим обе части неравенства на 196, чтобы избавиться от знаменателей:
\[ -196t^2 - 28t - 1 < 0 \]

Теперь обратим внимание на то, что коэффициент перед \( t^2 \) отрицателен (\( -196 \)). Это означает, что парабола, заданная данной квадратичной функцией, будет направлена вниз.

Для того чтобы найти интервалы, в которых функция отрицательна, нам нужно найти его вершины, которые - это точки, где функция достигает минимума. Формула для нахождения координат вершины параболы имеет вид:

\[ t_{\text{в}} = \frac{-b}{2a} \]

где \( a \) - коэффициент перед \( t^2 \) (\( -196 \)), \( b \) - коэффициент перед \( t \) (\( -28 \)).

Подставляем значения коэффициентов:

\[ t_{\text{в}} = \frac{-(-28)}{2 \cdot (-196)} = \frac{28}{392} = \frac{1}{14} \]

Значит, вершина параболы находится в точке \( t = \frac{1}{14} \). Теперь подставим это значение в исходное неравенство, чтобы определить, для каких значений \( t \) трехчлен является отрицательным:

\[ -\left(\frac{1}{14}\right)^2 - \frac{1}{7} \cdot \frac{1}{14} - \frac{1}{196} < 0 \]

\[ -\frac{1}{196} - \frac{1}{98} - \frac{1}{196} < 0 \]

\[ -\frac{3}{196} < 0 \]

Значит, трехчлен отрицательный для всех значений \( t \) в интервале \( t \in \left(-\infty, \frac{1}{14}\right) \).