Сколько корней уравнения 23−−√tgx−6=0 на интервале (0;π/2)?

Yaksha_932

31

Хорошо, давайте решим эту задачу пошагово. Вам задано уравнение \(23 - \sqrt{\tan(x)} - 6 = 0\), и вам нужно определить, сколько корней у этого уравнения на интервале \((0; \frac{\pi}{2})\).

Шаг 1: Приведение уравнения к более простому виду
Начнем с добавления 6 к обеим сторонам уравнения, чтобы избавиться от отрицательного значения:
\(23 - \sqrt{\tan(x)} = 6\).

Шаг 2: Избавление от корня
Возведем обе стороны уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня:
\((23 - \sqrt{\tan(x)})^2 = 6^2\).
Раскроем скобки и упростим выражение:
\(23^2 - 2 \cdot 23 \cdot \sqrt{\tan(x)} + \tan(x) = 36\).

Шаг 3: Подготовка к решению уравнения
Перенесем все члены уравнения на одну сторону:
\(23^2 + \tan(x) - 2 \cdot 23 \cdot \sqrt{\tan(x)} - 36 = 0\).

Шаг 4: Замена переменной
Введем новую переменную \(t = \sqrt{\tan(x)}\), чтобы упростить выражение:
\(23^2 + t^2 - 2 \cdot 23 \cdot t - 36 = 0\).

Шаг 5: Решение квадратного уравнения
Полученное уравнение можно решить как квадратное уравнение относительно переменной \(t\):
\(t^2 - 2 \cdot 23 \cdot t + (23^2 - 36) = 0\).

Теперь применим квадратное уравнение известную формулу дискриминанта:
Дискриминант \(D = b^2 - 4ac\), где \(a = 1\), \(b = -2 \cdot 23\), и \(c = 23^2 - 36\).

Шаг 6: Вычисление дискриминанта
Подставим известные значения в формулу дискриминанта:
\(D = (-2 \cdot 23)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (23^2 - 36)\).
Выполнив расчеты, получим:
\(D = 92^2 - 4 \cdot (23^2 - 36)\).

Шаг 7: Определение количества корней
Теперь определим, сколько корней у уравнения в зависимости от значения дискриминанта \(D\):

- Если \(D > 0\), уравнение имеет два различных корня.
- Если \(D = 0\), уравнение имеет один корень.
- Если \(D < 0\), уравнение не имеет действительных корней.

Вернемся к вычисленным значениям дискриминанта \(D\):

\(D = 92^2 - 4 \cdot (23^2 - 36)\).

После рассчетов:

\(D = 8464 - 4 \cdot (529 - 36)\).

Продолжим:

\(D = 8464 - 4 \cdot 493\).

Упростим:

\(D = 8464 - 1972\).

Выполним вычисления:

\(D = 6492\).

Таким образом, мы получили \(D > 0\), что означает, что у нашего уравнения два различных корня.

Ответ: Уравнение \(23 - \sqrt{\tan(x)} - 6 = 0\) на интервале \((0; \frac{\pi}{2})\) имеет два различных корня.