Необходимо подтвердить равенство: ((a^2/a+5) - (a^3/a^2+10a+25)): ((а/a+5) - (a^2/a^2-25))=5a-a^2/a+5

Morskoy_Briz

46

Хорошо, давайте решим данную задачу пошагово.

Для начала, давайте упростим каждое выражение.

Первое выражение: \(\frac{{a^2}}{{a+5}} - \frac{{a^3}}{{a^2+10a+25}}\).

Второе выражение: \(\frac{{a}}{{a+5}} - \frac{{a^2}}{{a^2-25}}\).

Теперь, объединим оба выражения в одну дробь:

\(\frac{{\frac{{a^2}}{{a+5}} - \frac{{a^3}}{{a^2+10a+25}}}}{{\frac{{a}}{{a+5}} - \frac{{a^2}}{{a^2-25}}}}\).

Следующим шагом, нам необходимо найти наименьшее общее кратное знаменателя для двух дробей в числителе и знаменателе. Поскольку зависит от значения a, давайте рассмотрим все возможные значения.

1. При a = -5:

В числителе: \(\frac{{(-5)^2}}{{(-5)+5}} - \frac{{(-5)^3}}{{(-5)^2+10(-5)+25}} = \frac{{25}}{{0}} - \frac{{-125}}{{0}}\).

Здесь мы получаем деление на 0, что является невозможным.

2. При a = -1:

В числителе: \(\frac{{(-1)^2}}{{(-1)+5}} - \frac{{(-1)^3}}{{(-1)^2+10(-1)+25}} = \frac{{1}}{{4}} - \frac{{-1}}{{16}} = \frac{{1}}{{4}} + \frac{{1}}{{16}} = \frac{{5}}{{16}}\).

В знаменателе: \(\frac{{(-1)}}{{(-1)+5}} - \frac{{(-1)^2}}{{(-1)^2-25}} = \frac{{-1}}{{4}} - \frac{{1}}{{24}} = -\frac{{7}}{{24}}\).

Теперь объединим числитель и знаменатель: \(\frac{{\frac{{5}}{{16}}}}{{-\frac{{7}}{{24}}}} = -\frac{{30}}{{112}} = -\frac{{15}}{{56}}\).

3. При a = 0:

В числителе: \(\frac{{0^2}}{{0+5}} - \frac{{0^3}}{{0^2+10(0)+25}} = 0 - \frac{{0}}{{25}} = 0\).

В знаменателе: \(\frac{{0}}{{0+5}} - \frac{{0^2}}{{0^2-25}} = 0 - 0 = 0\).

В данном случае, получаем деление на 0, что также является невозможным.

4. При a ≠ -5, -1, 0 (любом другом числе):

В числителе: \(\frac{{a^2}}{{a+5}} - \frac{{a^3}}{{a^2+10a+25}}\).

В знаменателе: \(\frac{{a}}{{a+5}} - \frac{{a^2}}{{a^2-25}}\).

Упрощать дробь в данном случае не представляется возможным.

Итак, равенство \(\frac{{\frac{{a^2}}{{a+5}} - \frac{{a^3}}{{a^2+10a+25}}}}{{\frac{{a}}{{a+5}} - \frac{{a^2}}{{a^2-25}}}} = 5a - \frac{{a^2}}{{a+5}}\) верно при a = -1 и только при этом значении.

Убедимся в этом подставив a = -1.

\(\frac{{(-1)^2}}{{(-1)+5}} - \frac{{(-1)^3}}{{(-1)^2+10(-1)+25}} = \frac{{1}}{{4}} + \frac{{1}}{{16}} = \frac{{5}}{{16}}\).

5a - \(\frac{{(-1)^2}}{{(-1)+5}} = 5(-1) - \frac{{1}}{{4}} = -5 - \frac{{1}}{{4}} = -\frac{{21}}{{4}}\).

Таким образом, при a = -1, равенство выполняется и равно \(\frac{{5}}{{16}} = -\frac{{21}}{{4}}\).