Для якого максимального значення a функція f(x)=ln(√(a^2 + x^2 - x)) буде непарною?

Yastreb

59

Для того, чтобы узнать, для какого максимального значения \(a\) функция \(f(x) = \ln(\sqrt{a^2 + x^2 - x})\) будет непарной, мы должны учесть особенности логарифмической функции и выяснить, при каких значениях \(x\) функция аргумента будет одновременно определена и будет выполняться условие \(f(-x) = -f(x)\).

Для начала, давайте разберемся с аргументом логарифма. Чтобы аргумент был определен, необходимо, чтобы выражение под корнем было неотрицательным. То есть:

\[a^2 + x^2 - x \geqslant 0\]

Чтобы упростить это неравенство, давайте приведем выражение к квадратному трехчлену:

\[x^2 - x + a^2 \geqslant 0\]

Теперь нам нужно найти значения \(x\), при которых это неравенство будет выполняться. Для этого можно решить квадратное уравнение:

\[x^2 - x + a^2 = 0\]

В качестве упражнения оставлю решение этого уравнения самому школьнику.

После нахождения корней квадратного уравнения, мы получим две точки \(x_1\) и \(x_2\). Теперь давайте рассмотрим два случая:

1. Если \(x_1 \leqslant 0 \leqslant x_2\), то на промежутке \([x_1, x_2]\) функция будет определена и непарная, так как логарифмическая функция с положительным аргументом является непарной.

2. Если \(0 \leqslant x_1 \leqslant x_2\) или \(x_1 \leqslant x_2 \leqslant 0\), то на промежутке \([-x_2, -x_1]\) функция будет определена и непарная, так как \(-x_2\) и \(-x_1\) будут соответствовать положительным аргументам функции, а логарифмическая функция с положительным аргументом, взятой с минусом, также является непарной.

Таким образом, для данных ограничений значение \(a\) может быть любым числом, и функция \(f(x) = \ln(\sqrt{a^2 + x^2 - x})\) будет непарной.