До какой температуры (в Кельвинах) должен быть охлажден идеальный газ, взятый изначально при температуре 450

Изумрудный_Дракон

19

Для решения данной задачи, нам понадобится использовать формулу для изменения внутренней энергии идеального газа при изменении его температуры:

\[ \Delta U = n \cdot C_v \cdot \Delta T \]

Где:
\(\Delta U\) - изменение внутренней энергии газа,
\(n\) - количество вещества газа,
\(C_v\) - молярная удельная теплоёмкость при постоянном объёме,
\(\Delta T\) - изменение температуры газа.

Дано, что изменение внутренней энергии должно составлять треть от его исходной внутренней энергии. Поэтому, мы можем записать это равенство:

\[ \Delta U = -\frac{2}{3} \cdot U \]

Учитывая, что газ находится в закрытом сосуде и никакая работа не совершается, изменение внутренней энергии газа связано только с изменением его температуры:

\[ \Delta U = n \cdot C_v \cdot \Delta T \]

Сравнивая оба равенства, получаем:

\[ n \cdot C_v \cdot \Delta T = -\frac{2}{3} \cdot U \]

Теперь заменим \( n \cdot C_v \) на \( R \), где \( R \) - универсальная газовая постоянная, и решим уравнение относительно изменения температуры \( \Delta T \):

\[ \Delta T = -\frac{2}{3} \cdot \frac{U}{R} \]

Зная, что внутренняя энергия газа пропорциональна его температуре, используем соотношение:

\[ U = n \cdot C_v \cdot T \]

где \( T \) - исходная температура газа. Подставляя это значение в формулу для изменения температуры, получаем:

\[ \Delta T = -\frac{2}{3} \cdot \frac{n \cdot C_v \cdot T}{R} \]

Зная, что \( C_v = \frac{R}{\gamma - 1} \), где \( \gamma \) - показатель адиабаты, для идеального моноатомного газа \( \gamma = \frac{5}{3} \), а для идеального двухатомного газа \( \gamma = \frac{7}{5} \).

Используя соотношение \( n \cdot C_v = n \cdot \frac{R}{\gamma - 1} \), получаем:

\[ \Delta T = -\frac{2}{3} \cdot \frac{n \cdot \frac{R}{\gamma - 1} \cdot T}{R} \]

Упрощаем данное выражение:

\[ \Delta T = -\frac{2}{3} \cdot \frac{n \cdot T}{\gamma - 1} \]

Теперь, мы знаем формулу для изменения температуры \( \Delta T \), выраженного через начальную температуру и показатель адиабаты газа. Подставим данное выражение в уравнение и решим его:

\[ T + \Delta T = 450 + \Delta T = \frac{T}{3} \]

\[ \frac{2T}{3} = 450 \]

\[ T = \frac{3 \cdot 450}{2} = 675 \]

Если мы желаем уменьшить внутреннюю энергию втрое, то итоговая температура должна быть равной 675 Кельвинов.