Докажите, что число, содержащее только цифры 1, 3, 7 и 9 и большее 10, является кратным какому-то простому числу

Yantarka

37

Для доказательства данного утверждения рассмотрим все простые числа, которые больше 10. Это числа: 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31 и так далее. Заметим, что из заданного условия мы должны составить число, содержащее только цифры 1, 3, 7 и 9. Опеределим, может ли число состоять только из одной цифры выбранного простого числа.

Рассмотрим простое число 11. Если мы попробуем составить число, содержащее только цифры 1, 3, 7 и 9 и больше 10, то получим следующие числа: 11, 33, 77, 99. Как видим, эти числа действительно делятся на 11 без остатка.

Аналогично рассмотрим простые числа 13, 17, 19, 23, 29, 31. Для каждого из них составим числа, удовлетворяющие условиям: 13, 33, 77, 99; 17, 77, 119, 737; 19, 99, 319, 791; 23, 33, 99, 111; 29, 299, 899, 1119; 31, 33, 77, 111.

Как видим, каждое из составленных чисел также оказывается кратным соответствующему простому числу. Таким образом, для каждого из простых чисел, которые больше 10, можно составить число, удовлетворяющее заданным условиям.

Доказательство дано.