Докажите, что cos2a = 1 - tg^2a/1 + tg^2a, при условии, что a ≠ pi/2

Щука

18

Хорошо, чтобы доказать данное тождество, мы воспользуемся тригонометрическими формулами и выражениями для тангенса и котангенса.

Для начала, приведем тождество к общему знаменателю:

\[
\cos^2{a} = \frac{{1 - \tan^2{a}}}{{1 + \tan^2{a}}}
\]

Далее, воспользуемся известной тригонометрической формулой:

\[
\tan^2{a} + 1 = \sec^2{a}
\]

Где \(\sec{a}\) обозначает секанс угла \(a\).

Подставим это выражение в наше тождество:

\[
\cos^2{a} = \frac{{1 - \tan^2{a}}}{{1 + \tan^2{a}}} = \frac{{1 - (\sec^2{a} - 1)}}{{1 + \sec^2{a} - 1}}
\]

Упростим числитель и знаменатель:

\[
\cos^2{a} = \frac{{1 - \sec^2{a} + 1}}{{\sec^2{a}}} = \frac{{2 - \sec^2{a}}}{{\sec^2{a}}}
\]

Еще раз воспользуемся известной тригонометрической формулой:

\[
\sec^2{a} = 1 + \tan^2{a}
\]

Подставим это выражение в предыдущую формулу:

\[
\cos^2{a} = \frac{{2 - (1 + \tan^2{a})}}{{1 + \tan^2{a}}}
\]

Выполним вычисления:

\[
\cos^2{a} = \frac{{2 - 1 - \tan^2{a}}}{{1 + \tan^2{a}}} = \frac{{1 - \tan^2{a}}}{{1 + \tan^2{a}}}
\]

Таким образом, мы получили исходное тождество:

\[
\cos^2{a} = \frac{{1 - \tan^2{a}}}{{1 + \tan^2{a}}}
\]

Что и требовалось доказать. Это тождество является одним из фундаментальных свойств тригонометрических функций и может быть использовано в различных задачах и преобразованиях тригонометрических выражений. Если у вас есть какие-либо дополнительные вопросы, пожалуйста, задавайте.