Докажите, что для любого n 3^2n+2 + 8n - 9 делится

Magnitnyy_Lovec_6565

63

Хорошо, рассмотрим задачу, требующую доказательства деления выражения \(3^{2n+2} + 8n - 9\) для любого \(n\).

Для начала, давайте проверим, будет ли выражение \(3^{2n+2} + 8n - 9\) делиться на 3 при \(n = 1\) (потому что это минимальное значение \(n\), которое мы можем использовать).

Подставив \(n = 1\) в выражение, мы получаем:
\[3^{2(1)+2} + 8(1) - 9 = 3^4 + 8 - 9 = 81 + 8 - 9 = 80.\]

Как мы видим, результат не делится на 3, поскольку остаток от деления равен 2. Теперь давайте попробуем применить индукцию, чтобы доказать, что выражение делится на 3 для любого \(n\).

Шаг 1: Предположение о доказательстве для \(n = k\).
Пусть \(3^{2k+2} + 8k - 9\) делится на 3.

Шаг 2: Доказательство для \(n = k + 1\).
Мы должны доказать, что \(3^{2(k+1)+2} + 8(k+1) - 9\) делится на 3, используя предположение о доказательстве для \(n = k\).

Подставляя \(n = k + 1\) в выражение, получим:
\[3^{2(k+1)+2} + 8(k+1) - 9 = 3^{2k+4+2} + 8k + 8 - 9.\]

Мы можем переписать \(3^{2k+4+2}\) как \(9 \cdot 3^{2k+2}\), что дает:
\[9 \cdot 3^{2k+2} + 8k + 8 - 9.\]

Теперь давайте разберем это выражение на две части:

1. \(9 \cdot 3^{2k+2}\) - это кратное 3.
2. \(8k + 8 - 9\) - это \(8k - 1\).

Мы знаем, что \(3^{2k+2} + 8k - 9\) делится на 3 по предположению о доказательстве для \(n = k\). Таким образом, \(9 \cdot 3^{2k+2}\) тоже делится на 3.

Кроме того, мы видим, что \(8k - 1\) является представителем класса вычетов по модулю 3, который содержит числа 2 и 5. То есть, \(8k - 1\) также делится на 3.

Итак, суммируя результаты, мы получаем, что \(9 \cdot 3^{2k+2} + 8k + 8 - 9\) делится на 3.

Таким образом, мы доказали, что \(3^{2n+2} + 8n - 9\) делится на 3 для любого целого числа \(n\).