Докажите, что функция g(x) является первообразной функции h(x), если: h(x) = 6x^5 + ln(6x) и h(x) = 30x^4 + 1/x

Ледяной_Волк

9

Хорошо, давайте решим эту задачу шаг за шагом.

Нам нужно доказать, что функция \(g(x)\) является первообразной для функции \(h(x)\), где
\[h(x) = 6x^5 + \ln(6x)\] и \(h(x) = 30x^4 + \frac{1}{x}\), где \(x > 0\).

Чтобы доказать, что функция \(g(x)\) является первообразной для \(h(x)\), мы должны показать, что производная функции \(g(x)\) равна \(h(x)\). Для этого мы возьмем производную от функции \(g(x)\) и проверим, совпадает ли она с \(h(x)\).

Для начала определим функцию \(g(x)\). Пусть
\[g(x) = \int h(x) dx\]

Теперь возьмем производную от \(g(x)\) и посмотрим, равна ли она \(h(x)\):
\[g"(x) = h(x)\]

Вычислим производную от \(g(x)\):
\[g"(x) = \frac{d}{dx} \left(\int h(x) dx\right)\]

Допустим, что
\[h(x) = 6x^5 + \ln(6x)\]
Тогда для вычисления производной \(g"(x)\) мы должны использовать правило дифференцирования для сложной функции, которое гласит:
\[ \frac{d}{dx} \int f(x) dx = f(x)\]

Применяя это правило, получим:
\[g"(x) = 6x^5 + \ln(6x)\]

Теперь посмотрим на выражение \(h(x) = 30x^4 + \frac{1}{x}\). Опять же, для вычисления производной \(g"(x)\) мы используем правило дифференцирования сложной функции.

Применяя данное правило, мы получим:
\[g"(x) = 30x^4 + \frac{1}{x}\]

Таким образом, мы видим, что производная от функции \(g(x)\) равна функции \(h(x)\) в обоих случаях. Следовательно, функция \(g(x)\) является первообразной для функции \(h(x)\), когда \(x > 0\).

Это доказывает, что функция \(g(x)\) является первообразной для двух заданных функций \(h(x)\).