Докажите, что последовательность возрастает: b/n=7n/n+1. Перепишите соотношение, которое верно для возрастающей

Mister

4

Чтобы доказать, что последовательность \( b_n = \frac{7n}{n+1} \) возрастает, давайте рассмотрим разность между соседними членами этой последовательности \( b_{n+1} \) и \( b_n \):

\[ b_{n+1} - b_n = \frac{7(n+1)}{n+2} - \frac{7n}{n+1} \]

Чтобы упростить эту разность, давайте найдем общий знаменатель, это даст нам возможность сложить числители:

\[ b_{n+1} - b_n = \frac{7(n+1)(n+1) - 7n(n+2)}{(n+1)(n+2)} \]

Раскроем скобки в числителе:

\[ b_{n+1} - b_n = \frac{7(n^2 + 2n + 1) - 7(n^2 + 2n)}{(n+1)(n+2)} \]

Упростим выражение в числителе:

\[ b_{n+1} - b_n = \frac{7n^2 + 14n + 7 - 7n^2 - 14n}{(n+1)(n+2)} \]

Многие члены сокращаются:

\[ b_{n+1} - b_n = \frac{7n^2 - 7n^2 + 14n - 14n + 7}{(n+1)(n+2)} \]

Остается:

\[ b_{n+1} - b_n = \frac{7}{(n+1)(n+2)} \]

Мы видим, что разность между соседними членами последовательности положительна, так как числитель равен 7, а знаменатель всегда положительный для любого положительного значения n.

Таким образом, \( b_{n+1} > b_n \), что означает, что последовательность \( b_n = \frac{7n}{n+1} \) возрастает.

Перепишем соотношения для возрастающей последовательности:

\[ b_1 < b_2 < b_3 < \ldots < b_n < b_{n+1} < b_n = C \]

Давайте теперь запишем равенства для следующих членов данной последовательности:

2.1. \( b_n = \frac{7n}{n+1} \) - всего лишь переписываем формулу.

2.2. \( b_{n+1} = \frac{7(n+1)}{n+2} \) - суть заключается в замене n на n+1 в формуле для \( b_n \).

Мы видим, что при увеличении значения n на 1, числитель и знаменатель соответствующего члена увеличиваются на одну и ту же константу (7), а значит, значение \( b_{n+1} \) становится больше значения \( b_n \).

Таким образом, последовательность \( b_n = \frac{7n}{n+1} \) возрастает.