Докажите, что разность между некоторыми двумя числами из последовательности 2, 4, 8, 16, ..., 2^100 делится нацело

Солнечный_Смайл

51

Чтобы доказать, что разность между некоторыми двумя числами из последовательности 2, 4, 8, 16, ..., \(2^{100}\) делится нацело, мы должны представить эти числа в виде формул и доказать, что разность этих формул делится нацело.

Данная последовательность является геометрической прогрессией, где каждое следующее число получается путем умножения предыдущего числа на 2. Можем записать первое число последовательности как \(a_1 = 2\) и общий член последовательности как \(a_n = 2^n\) для \(n\) элементов.

Рассмотрим два произвольных элемента последовательности, например \(a_m\) и \(a_k\), где \(m > k\). Разность между этими двумя элементами будет выглядеть следующим образом:

\[a_m - a_k = 2^m - 2^k\]

Теперь мы можем факторизовать это выражение, чтобы проверить, делится ли оно нацело. Мы знаем, что \(2^m\) и \(2^k\) имеют общий множитель \(2^k\), поскольку мы умножили предыдущий элемент на 2, чтобы получить следующий элемент. Таким образом, мы можем представить разность чисел в виде:

\[a_m - a_k = 2^k(2^{m-k} - 1)\]

Теперь обратим внимание на множитель \((2^{m-k} - 1)\). Заметим, что \(2^{m-k}\) — это число в двоичной системе счисления, состоящее из \(m-k\) единиц. При вычитании единицы (\(1\)) мы получим число с \(m-k\) нулями и одной единицей в конце. Таким образом, мы можем представить \((2^{m-k} - 1)\) как произведение некоторого числа на \(2^k\).

\[2^{m-k} - 1 = (111...10)_2 = (2^{m-k} - 1) \times 2^k\]

Таким образом, мы можем записать разность между \(a_m\) и \(a_k\) следующим образом:

\[a_m - a_k = 2^k(2^{m-k} - 1) = 2^k \times (2^{m-k} - 1) \times 2^k\]

Мы видим, что разность между элементами последовательности состоит из произведения трех множителей: \(2^k\), \((2^{m-k} - 1)\) и \(2^k\). Это означает, что разность делится нацело на \(2^k\), так как она представляет собой его произведение.

Таким образом, мы доказали, что разность между некоторыми двумя числами из последовательности 2, 4, 8, 16, ..., \(2^{100}\) делится нацело.