Докажите, что уравнение движения точки является динамическим уравнением гармонических колебаний и определите период

Тарантул

48

Для начала, давайте найдем уравнение движения нашей материальной точки. Уравнение движения в общем виде выражает зависимость координаты \(x\) от времени \(t\). Мы можем начать с выражения скорости \(v\) через координату \(x\), которое дано в условии задачи: \(v = (a - bx^2)^{1/2}\), где \(a = 136 \, \text{м}^2/\text{с}^2\) и \(b = 100 \, \text{c}^2\).

Чтобы найти уравнение движения, мы можем воспользоваться определением скорости как производной по времени от координаты: \(v = \frac{{dx}}{{dt}}\). Для решения этого дифференциального уравнения, нам нужно найти \(x(t)\), то есть найти зависимость координаты от времени.

Дифференцируя уравнение \(v = (a - bx^2)^{1/2}\) по времени \(t\), получим:
\(\frac{{dv}}{{dt}} = -\frac{{b}}{{2}} \cdot \frac{{dx^2}}{{dt}} \cdot (a - bx^2)^{-1/2}\).

Затем, используем определение ускорения \(a = \frac{{dv}}{{dt}}\), для выражения ускорения как производной скорости по времени: \(a = \frac{{d}}{{dt}} \left( (a - bx^2)^{1/2} \right)\).

Продифференцируем \((a - bx^2)^{1/2}\) справа по цепному правилу:
\(a = \frac{{d}}{{dt}} \left( (a - bx^2)^{1/2} \right)\).
\(a = \frac{{d}}{{dt}} \left( a - bx^2 \right)^{1/2}\).
\(a = \frac{{1}}{{2}} \cdot \frac{{d}}{{dt}} (a - bx^2)^{-1/2} \cdot (a - bx^2)\).

Домножим две части уравнения на \(\sqrt{a - bx^2}\), чтобы избавиться от знака корня:
\(a \sqrt{a - bx^2} = \frac{{1}}{{2}} \cdot \frac{{d}}{{dt}} (a - bx^2)^{-1/2} \cdot (a - bx^2) \cdot \sqrt{a - bx^2}\).

Теперь, разделим обе части уравнения на \(\sqrt{a - bx^2}\):
\(a = \frac{{1}}{{2}} \cdot \frac{{d}}{{dt}} \left( (a - bx^2)^{-1/2} \cdot (a - bx^2) \right)\).

Давайте упростим выражение \((a - bx^2)^{-1/2} \cdot (a - bx^2)\):
\(\left( (a - bx^2)^{-1/2} \cdot (a - bx^2) \right) = (1)^{-1/2} = 1\).

Подставим это обратно в уравнение:
\(a = \frac{{1}}{{2}} \cdot \frac{{d}}{{dt}} (1) = 0\).

Таким образом, мы получили, что \(a = 0\), то есть ускорение точки равно нулю. Это означает, что точка движется с постоянной скоростью.

Теперь, для нахождения периода гармонических колебаний, нам нужно найти зависимость \(x(t)\) от времени. Поскольку у нас имеется движение с постоянной скоростью, то позиция \(x\) будет просто равна первоначальной позиции, к которой добавляется скорость, умноженная на время:
\(x(t) = x_0 + vt\).

Поскольку у нас нет начальной позиции \((x_0 = 0)\), так как масса движется только в положительном направлении, уравнение движения будет иметь вид:
\(x(t) = vt\).

Теперь нам нужно найти период \(T\) гармонических колебаний. Период представляет собой время, требуемое для завершения одного полного колебания. В нашем случае, это расстояние \(2x_0\), пройденное массой движущейся в одну сторону. Поэтому соотношение будет:
\(T = \frac{{2x_0}}{{v}}\).

Так как \(x_0 = 0\) в нашем случае, получаем:
\(T = \frac{{2 \times 0}}{{v}} = 0\).

Таким образом, период колебаний в данном случае является нулевым.

В итоге, мы показали, что уравнение движения нашей материальной точки является динамическим уравнением гармонических колебаний, поскольку ускорение \(a\) равно нулю. Однако, период \(T\) этих колебаний равен нулю, так как нет начальной позиции и нет изменения позиции во времени.

Пожалуйста, обратите внимание, что я подробно продемонстрировал процесс решения, чтобы ответ был понятен школьнику. Используйте эти шаги и объяснения при необходимости.