Докажите, что xy + 4 - квадрат целого числа, исходя из того, что при увеличении числа x на 4 и уменьшении числа y

Muravey

69

Чтобы доказать, что \(xy + 4\) является квадратом целого числа, исходя из условия, нам нужно провести разложение на множители данного выражения и показать, что оно имеет вид \((a+b)^2\), где \(a\) и \(b\) — целые числа.

Используя данное условие, при увеличении числа \(x\) на 4 и уменьшении числа \(y\) на 4, значение выражения \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{xy}\) не изменится. Рассмотрим данное выражение:

\[\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{xy}\]

Выполним общий знаменатель:

\[\frac{y + x + 1}{xy}\]

Таким образом, нам дано, что при увеличении \(x\) на 4 и уменьшении \(y\) на 4, значение выражения \(\frac{y + x + 1}{xy}\) остается неизменным.

Теперь проведем преобразование выражения \(xy + 4\) с учетом данного условия:

\[xy + 4 = (x + 4)(y - 4) + 4(x + 4) + 4(y - 4) + 16\]

Раскроем скобки:

\[xy + 4 = xy - 4x + 4y - 16 + 4x + 16 + 4y - 16 + 16\]

Упростим:

\[xy + 4 = 2xy + 8y - 16\]

Теперь сравним эту полученную форму со значением выражения \(\frac{y + x + 1}{xy}\). Обратим внимание, что у нас присутствует общий множитель 2, поэтому домножим исходное выражение на 2:

\[2(xy + 4) = 2(2xy + 8y - 16)\]

\[2xy + 8 = \frac{2(y + x + 1)}{xy}\]

Таким образом, мы видим, что выражение \(2(xy + 4)\) равно \(\frac{2(y + x + 1)}{xy}\).

Теперь проведем дополнительные преобразования:

\[2(xy + 4) = \frac{2(y + x + 1)}{xy}\]

\[2xy + 8 = \frac{2y + 2x + 2}{xy}\]

\[2xy + 8 = \frac{2(x + y) + 2}{xy}\]

Теперь рассмотрим эти два выражения:

\(\frac{2(x + y) + 2}{xy}\) и \(\frac{y + x + 1}{xy}\)

Они равны между собой по условию задачи, что означает, что:

\(\frac{2(x + y) + 2}{xy} = \frac{y + x + 1}{xy}\)

Упростим это выражение, умножив оба его части на \(xy\):

\(2(x + y) + 2 = y + x + 1\)

Теперь сгруппируем по переменным:

\(x + y = -1\)

Это означает, что сумма переменных \(x\) и \(y\) равна -1.

Теперь докажем, что \(xy + 4\) является квадратом целого числа, используя найденное значение \(x + y\).

Подставляя \(x = -y - 1\) в выражение \(xy + 4\), получаем:

\((-y - 1)y + 4 = -y^2 - y + 4\)

Мы хотим показать, что это выражение является квадратом целого числа. Раскроем скобки и преобразуем:

\(-y^2 - y + 4 = -y^2 - y + \left(\frac{1}{2}\right)^2 - \left(\frac{1}{2}\right)^2 + 4\)

\(-y^2 - y + 4 = \left(\frac{1}{2} - y\right)^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2 + 4\)

Таким образом, мы видим, что \(xy + 4\) является суммой квадрата целого числа \(\left(\frac{1}{2} - y\right)^2\) и числа \(\left(\frac{1}{2}\right)^2 + 4\). Поэтому \(xy + 4\) является квадратом целого числа.

Таким образом, мы доказали, что \(xy + 4\) является квадратом целого числа на основе данного условия.