Докажите равенство: синус a / (1 - косинус a) = 1 + косинус a / синус

Путешественник

22

Конечно, я могу помочь с этой задачей.
Для начала рассмотрим левую часть равенства: \(\frac{\sin a}{1 - \cos a}\).

Для дальнейшего решения, воспользуемся тригонометрическими тождествами.

Тождество \(\sin^2 a + \cos^2 a = 1\) - это основное тождество тригонометрии, которое связывает косинус и синус угла a.

Разделив это тождество на \(\sin^2 a\), получим:
\(\frac{\sin^2 a}{\sin^2 a} + \frac{\cos^2 a}{\sin^2 a} = \frac{1}{\sin^2 a}\).

Заметим, что \(\frac{\cos^2 a}{\sin^2 a}\) можно заменить на \(\frac{\cos a}{\sin a} \cdot \frac{\cos a}{\sin a}\) в силу определения тангенса \(\tan a = \frac{\sin a}{\cos a}\):

\(\frac{\sin^2 a}{\sin^2 a} + \frac{\cos^2 a}{\sin^2 a} = \frac{1}{\sin^2 a}\).
\(\frac{\sin^2 a}{\sin^2 a} + \frac{\cos a}{\sin a} \cdot \frac{\cos a}{\sin a} = \frac{1}{\sin^2 a}\).

Теперь можем записать всю левую часть равенства и продолжить решение:

\(\frac{\sin a}{1 - \cos a} = \frac{\sin^2 a}{\sin^2 a} + \frac{\cos a}{\sin a} \cdot \frac{\cos a}{\sin a}\).
\(\frac{\sin a}{1 - \cos a} = 1 + \frac{\cos a}{\sin a} \cdot \frac{\cos a}{\sin a}\).

Теперь обратимся к правой части равенства: \(1 + \cos a / \sin a\).
Нам нужно привести правую часть к такому же виду, как левая.

Для этого заменим \(\cos a / \sin a\) на \(\frac{\cos a}{\sin a} \cdot \frac{\sin a}{\sin a}\):

\(1 + \frac{\cos a}{\sin a} = 1 + \frac{\cos a}{\sin a} \cdot \frac{\sin a}{\sin a}\).
\(1 + \frac{\cos a}{\sin a} = 1 + \frac{\cos a}{\sin a} \cdot 1\).

Теперь оба выражения имеют одинаковый вид:

\(\frac{\sin a}{1 - \cos a} = 1 + \frac{\cos a}{\sin a}\).

Таким образом, мы доказали равенство: \(\frac{\sin a}{1 - \cos a} = 1 + \frac{\cos a}{\sin a}\).