Докажите равенство: синус a / (1 - косинус a) = 1 + косинус a / синус

Путешественник

22

Конечно, я могу помочь с этой задачей.
Для начала рассмотрим левую часть равенства: $\frac{\sin a}{1-\cos a}$.

Для дальнейшего решения, воспользуемся тригонометрическими тождествами.

Тождество ${\sin }^{2}a+{\cos }^{2}a=1$ - это основное тождество тригонометрии, которое связывает косинус и синус угла a.

Разделив это тождество на ${\sin }^{2}a$, получим:
$\frac{{\sin }^{2}a}{{\sin }^{2}a}+\frac{{\cos }^{2}a}{{\sin }^{2}a}=\frac{1}{{\sin }^{2}a}$.

Заметим, что $\frac{{\cos }^{2}a}{{\sin }^{2}a}$ можно заменить на $\frac{\cos a}{\sin a}\cdot \frac{\cos a}{\sin a}$ в силу определения тангенса $\tan a=\frac{\sin a}{\cos a}$:

$\frac{{\sin }^{2}a}{{\sin }^{2}a}+\frac{{\cos }^{2}a}{{\sin }^{2}a}=\frac{1}{{\sin }^{2}a}$.
$\frac{{\sin }^{2}a}{{\sin }^{2}a}+\frac{\cos a}{\sin a}\cdot \frac{\cos a}{\sin a}=\frac{1}{{\sin }^{2}a}$.

Теперь можем записать всю левую часть равенства и продолжить решение:

$\frac{\sin a}{1-\cos a}=\frac{{\sin }^{2}a}{{\sin }^{2}a}+\frac{\cos a}{\sin a}\cdot \frac{\cos a}{\sin a}$.
$\frac{\sin a}{1-\cos a}=1+\frac{\cos a}{\sin a}\cdot \frac{\cos a}{\sin a}$.

Теперь обратимся к правой части равенства: $1+\cos a/\sin a$.
Нам нужно привести правую часть к такому же виду, как левая.

Для этого заменим $\cos a/\sin a$ на $\frac{\cos a}{\sin a}\cdot \frac{\sin a}{\sin a}$:

$1+\frac{\cos a}{\sin a}=1+\frac{\cos a}{\sin a}\cdot \frac{\sin a}{\sin a}$.
$1+\frac{\cos a}{\sin a}=1+\frac{\cos a}{\sin a}\cdot 1$.

Теперь оба выражения имеют одинаковый вид:

$\frac{\sin a}{1-\cos a}=1+\frac{\cos a}{\sin a}$.

Таким образом, мы доказали равенство: $\frac{\sin a}{1-\cos a}=1+\frac{\cos a}{\sin a}$.