Докажите тождество Ctg2B-ctg4B=1/sin4B. Просьба о помощи

Оксана_485

32

Конечно, я помогу вам доказать данное тождество.

Задача состоит в доказательстве тождества \( \cot^2 B - \cot^4 B = \frac{1}{\sin^4 B} \).

Для начала, разделим левую часть тождества на \(\cot^2 B\):

\[
\frac{\cot^2 B - \cot^4 B}{\cot^2 B}
\]

Теперь заменим \(\cot B\) на \(\frac{\cos B}{\sin B}\):

\[
\frac{\left(\frac{\cos B}{\sin B}\right)^2 - \left(\frac{\cos B}{\sin B}\right)^4}{\left(\frac{\cos B}{\sin B}\right)^2}
\]

Упростим числитель:

\[
\frac{\frac{\cos^2 B}{\sin^2 B} - \frac{\cos^4 B}{\sin^4 B}}{\frac{\cos^2 B}{\sin^2 B}} = \frac{\frac{\cos^2 B}{\sin^2 B} \left(1 - \frac{\cos^2 B}{\sin^2 B}\right)}{\frac{\cos^2 B}{\sin^2 B}}
\]

Заметим, что \(\frac{\cos^2 B}{\sin^2 B} = \cot^2 B\), поэтому получаем:

\[
\frac{\cot^2 B \left(1 - \cot^2 B\right)}{\cot^2 B} = 1 - \cot^2 B
\]

Вспомним тригонометрическое тождество \(\sin^2 B + \cos^2 B = 1\), которое можно представить в виде \(\cos^2 B = 1 - \sin^2 B\). Подставим это значение в наше уравнение:

\[
1 - (1 - \sin^2 B) = 1 - 1 + \sin^2 B = \sin^2 B
\]

Теперь заменим \(\sin^2 B\) на \(\frac{1}{\csc^2 B}\):

\[
\frac{1}{\csc^2 B}
\]

Наконец, используем определение \(\csc B = \frac{1}{\sin B}\) и получаем:

\[
\frac{1}{\sin^2 B} = \frac{1}{\sin^4 B}
\]

Таким образом, мы доказали, что \(\cot^2 B - \cot^4 B = \frac{1}{\sin^4 B}\).

Надеюсь, что данное пошаговое решение помогло вам понять, как доказать данное тождество. Если у вас возникнут дополнительные вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать их.