Докажите тождество Ctg2B-ctg4B=1/sin4B. Просьба о помощи

Оксана_485

32

Конечно, я помогу вам доказать данное тождество.

Задача состоит в доказательстве тождества ${\cot }^{2}B-{\cot }^{4}B=\frac{1}{{\sin }^{4}B}$.

Для начала, разделим левую часть тождества на ${\cot }^{2}B$:

$$\frac{{\cot }^{2}B-{\cot }^{4}B}{{\cot }^{2}B}$$

Теперь заменим $\cot B$ на $\frac{\cos B}{\sin B}$:

$$\frac{{\left(\frac{\cos B}{\sin B}\right)}^2-{\left(\frac{\cos B}{\sin B}\right)}^4}{{\left(\frac{\cos B}{\sin B}\right)}^2}$$

Упростим числитель:

$$\frac{\frac{{\cos }^{2}B}{{\sin }^{2}B}-\frac{{\cos }^{4}B}{{\sin }^{4}B}}{\frac{{\cos }^{2}B}{{\sin }^{2}B}}=\frac{\frac{{\cos }^{2}B}{{\sin }^{2}B}(1-\frac{{\cos }^{2}B}{{\sin }^{2}B})}{\frac{{\cos }^{2}B}{{\sin }^{2}B}}$$

Заметим, что $\frac{{\cos }^{2}B}{{\sin }^{2}B}={\cot }^{2}B$, поэтому получаем:

$$\frac{{\cot }^{2}B(1-{\cot }^{2}B)}{{\cot }^{2}B}=1-{\cot }^{2}B$$

Вспомним тригонометрическое тождество ${\sin }^{2}B+{\cos }^{2}B=1$, которое можно представить в виде ${\cos }^{2}B=1-{\sin }^{2}B$. Подставим это значение в наше уравнение:

$$1-(1-{\sin }^{2}B)=1-1+{\sin }^{2}B={\sin }^{2}B$$

Теперь заменим ${\sin }^{2}B$ на $\frac{1}{{\csc }^{2}B}$:

$$\frac{1}{{\csc }^{2}B}$$

Наконец, используем определение $\csc B=\frac{1}{\sin B}$ и получаем:

$$\frac{1}{{\sin }^{2}B}=\frac{1}{{\sin }^{4}B}$$

Таким образом, мы доказали, что ${\cot }^{2}B-{\cot }^{4}B=\frac{1}{{\sin }^{4}B}$.

Надеюсь, что данное пошаговое решение помогло вам понять, как доказать данное тождество. Если у вас возникнут дополнительные вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать их.