Достаточно ли 150 метров изгороди для ограждения прямоугольного дачного участка, одна сторона которого на 30 метров

Vulkan

10

Конечно! Для решения этой задачи мы можем воспользоваться квадратным уравнением.

Пусть длина прямоугольного участка равна \( x \) метров, а ширина участка будет \( x - 30 \) метров. Зная площадь прямоугольника, мы можем записать уравнение:

\[ x \cdot (x - 30) = 1000 \]

Теперь приведем это уравнение к квадратному виду, раскрыв скобки:

\[ x^2 - 30x = 1000 \]

Далее, приведем уравнение к стандартному виду, перенося все слагаемые в одну сторону и приравнивая его к нулю:

\[ x^2 - 30x - 1000 = 0 \]

Теперь у нас есть квадратное уравнение, которое мы можем решить.

Мы можем воспользоваться формулой дискриминанта для нахождения корней этого уравнения. Дискриминант \( D \) вычисляется по формуле:

\[ D = b^2 - 4ac \]

Где \( a = 1 \), \( b = -30 \), и \( c = -1000 \). Подставив значения, получим:

\[ D = (-30)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1000) \]

Вычислив дискриминант, получаем \( D = 1900 \).

Теперь, чтобы найти значения \( x \), мы можем воспользоваться формулой для нахождения корней квадратного уравнения:

\[ x = \frac{{-b \pm \sqrt{D}}}{{2a}} \]

Подставив значения, получаем:

\[ x = \frac{{30 \pm \sqrt{1900}}}{{2}} \]

Раскроем корень и упростим выражение:

\[ x = \frac{{30 \pm 10\sqrt{19}}}{{2}} \]

Получили две возможные длины участка. Теперь, чтобы определить, достаточно ли 150 метров изгороди, мы можем подставить найденные значения \( x \) в формулу для периметра прямоугольника и проверить, является ли он меньше или равен 150 метрам.

Периметр прямоугольника \( P \) вычисляется по формуле:

\[ P = 2x + 2(x - 30) \]

Выполним вычисления для обоих значений \( x \):

\[ P_1 = 2 \cdot \left(\frac{{30 + 10\sqrt{19}}}{{2}}\right) + 2 \cdot \left(\frac{{30 + 10\sqrt{19} - 30}}{{2}}\right) \]

\[ P_2 = 2 \cdot \left(\frac{{30 - 10\sqrt{19}}}{{2}}\right) + 2 \cdot \left(\frac{{30 - 10\sqrt{19} - 30}}{{2}}\right) \]

Упростим эти выражения:

\[ P_1 = 30 + 10\sqrt{19} \]

\[ P_2 = 30 - 10\sqrt{19} \]

Таким образом, получили два возможных значения периметра. Теперь мы можем сравнить их с заданными 150 метрами:

Если \( P_1 \leq 150 \), то длина изгороди достаточна для данного участка.
Если \( P_2 \leq 150 \), то длина изгороди достаточна для данного участка.

Таким образом, мы можем получить окончательный ответ и узнать, достаточно ли 150 метров изгороди для ограждения данного прямоугольного дачного участка. Пожалуйста, проанализуйте последние выражения и определите, достаточно ли изгороди для нашего участка. Если есть какие-либо дополнительные вопросы, я буду рад помочь вам!