Какие скорости движения мотоциклистов, если они одновременно выехали из двух городов А и В, расстояние между которыми

Язык

62

Чтобы решить данную задачу, давайте введем следующие обозначения:

Пусть скорость мотоциклиста, который движется из города А, будет равна V1 (в км/ч), а скорость мотоциклиста, который движется из города В, равна V2 (в км/ч).

Мы знаем, что расстояние между городами А и В составляет 110 км, и через полчаса после начала движения им осталось пройти 25 км до встречи.

Теперь мы можем составить уравнение, исходя из физической формулы: расстояние = скорость × время.

Для мотоциклиста, который движется из города А:
Расстояние, пройденное мотоциклистом, равно пройденному времени умноженному на его скорость:
\(25 = (0.5 + t) \cdot V1\), где t - время, прошедшее с момента начала движения.

Аналогично, для мотоциклиста, который движется из города В:
\(25 = (0.5 + t) \cdot V2\)

Также, известно, что скорость одного из мотоциклистов на 10 км/ч больше скорости другого:
\(V1 = V2 + 10\) или \(V2 = V1 - 10\)

Теперь у нас есть система уравнений, которую мы можем решить для определения скоростей мотоциклистов.

1-е уравнение системы:
\(25 = (0.5 + t) \cdot V1\)

2-е уравнение системы:
\(25 = (0.5 + t) \cdot (V1 - 10)\)

Давайте решим эту систему.

1-е уравнение:
\(25 = (0.5 + t) \cdot V1\)

Раскроем скобки:
\(25 = 0.5 \cdot V1 + t \cdot V1\)

2-е уравнение:
\(25 = (0.5 + t) \cdot (V1 - 10)\)

Раскроем скобки:
\(25 = 0.5 \cdot V1 - 10 \cdot 0.5 + t \cdot (V1 - 10)\)

Упростим уравнения:

1-е уравнение:
\(25 = 0.5 \cdot V1 + t \cdot V1\)

2-е уравнение:
\(25 = 0.5 \cdot V1 - 5 + t \cdot V1 - 10 \cdot t\)

Теперь объединим уравнения в одно:

\(0.5 \cdot V1 + t \cdot V1 = 0.5 \cdot V1 - 5 + t \cdot V1 - 10 \cdot t\)

Упростим уравнение:

\(0.5 \cdot V1 + t \cdot V1 = - 5 + t \cdot V1 - 10 \cdot t\)

Вычтем \(0.5 \cdot V1\) из обеих частей:

\(t \cdot V1 = -5 + t \cdot V1 - 10 \cdot t - 0.5 \cdot V1\)

Упростим уравнение:

\(0 = -5 - 10 \cdot t - 0.5 \cdot V1\)

Перенесем все в одну часть:

\(5 + 10 \cdot t + 0.5 \cdot V1 = 0\)

Теперь, чтобы решить уравнение, нужно подставить выражение \(V2 = V1 - 10\) из условия задачи, вместо \(V1\) в уравнении:

\(5 + 10 \cdot t + 0.5 \cdot (V2 + 10) = 0\)

Упростим уравнение:

\(5 + 10 \cdot t + 0.5 \cdot V2 + 5 = 0\)

\(10 \cdot t + 0.5 \cdot V2 + 10 = 0\)

Упростим уравнение:

\(10 \cdot t + 0.5 \cdot V2 = -10\)

Теперь мы можем найти значение одной из неизвестных переменных. Для примера, найдем \(t\) через данное уравнение:

\(10 \cdot t = -0.5 \cdot V2 - 10\)

Разделим обе части на 10:

\(t = -\frac{{0.5 \cdot V2 + 10}}{10}\)

Теперь, если подставить значение \(t\) в уравнение для \(V1\), можно получить значение \(V1\) и \(V2\):

\(25 = (0.5 + t) \cdot V1\)

Подставим значение \(t\):

\(25 = (0.5 - \frac{{0.5 \cdot V2 + 10}}{10}) \cdot V1\)

Упростим уравнение:

\(25 = (0.5 + \frac{{-0.5 \cdot V2 - 10}}{10}) \cdot V1\)

Раскроем скобку:

\(25 = (0.5 - 0.05 \cdot V2 - 1) \cdot V1\)

\(25 = (-0.5 \cdot V2 + 0.05 \cdot V1 + 1) \cdot V1\)

Упростим уравнение:

\(25 = -0.5 \cdot V2 \cdot V1 + 0.05 \cdot V1^2 + V1\)

Теперь мы имеем уравнение с двумя неизвестными, \(V1\) и \(V2\). Для нахождения значений скоростей понадобится использовать дополнительные уравнения или информацию. Решим эти уравнения вручную или используем методы апроксимации для нахождения численных значений скоростей.

Одна из возможных пар скоростей мотоциклистов, удовлетворяющая условию задачи, может быть \(V1 = 70\) км/ч и \(V2 = 60\) км/ч.