Если t=7/12, то каково значение выражения (6t)^2 - (t-7)(t+7)?

Moroz

48

Давайте решим данное выражение по шагам, чтобы всё было понятно. У нас дано, что \(t = \frac{7}{12}\). Найдём сначала значение \((6t)^2\). Чтобы возвести данное выражение в квадрат, нужно умножить его само на себя.

\[ (6t)^2 = 6t \cdot 6t \]

Умножим числа и обычные дроби:

\[ (6t)^2 = 36t^2 \]

Теперь найдём значение \((t-7)(t+7)\). Для этого перемножим эти два множителя:

\[ (t-7)(t+7) = t \cdot t + t \cdot 7 - 7 \cdot t - 7 \cdot 7 \]

Упростим выражение:

\[ (t-7)(t+7) = t^2 + 7t - 7t - 49 \]

Заметьте, что слагаемые \(7t\) и \(-7t\) сокращаются:

\[ (t-7)(t+7) = t^2 - 49 \]

Теперь подставим значение \(t\), которое равно \(\frac{7}{12}\), в оба выражения:

\[ (6t)^2 = 36\left(\frac{7}{12}\right)^2 = 36\cdot \frac{7^2}{12^2} \]

\[ (t-7)(t+7) = \left(\frac{7}{12}\right)^2 - 49 = \frac{7^2}{12^2} - 49 \]

Теперь у нас есть значения каждой части выражения. Вычислим их:

\[ (6t)^2 = 36\cdot \frac{7^2}{12^2} = 36\cdot \frac{49}{144} = \frac{1764}{144} = \frac{49}{4} \]

\[ (t-7)(t+7) = \frac{7^2}{12^2} - 49 = \frac{49}{144} - \frac{49 \cdot 12^2}{12^2} = \frac{49 - 49 \cdot 144}{12^2} = \frac{49(1 - 144)}{12^2} = \frac{49(-143)}{144} = \frac{-683}{144} \]

Теперь найдём значение выражения, вычитая результаты:

\[ (6t)^2 - (t-7)(t+7) = \frac{49}{4} - \frac{-683}{144} \]

Приведём дроби к общему знаменателю:

\[ (6t)^2 - (t-7)(t+7) = \frac{144 \cdot 49}{144 \cdot 4} - \frac{-683 \cdot 4}{144 \cdot 4} \]

\[ (6t)^2 - (t-7)(t+7) = \frac{7056}{576} + \frac{2732}{576} \]

\[ (6t)^2 - (t-7)(t+7) = \frac{7056 + 2732}{576} = \frac{9788}{576} \]

Мы можем упростить данную дробь:

\[ (6t)^2 - (t-7)(t+7) = \frac{512 \cdot 19}{32 \cdot 18} = \frac{19}{2} \]

Таким образом, значение данного выражения равно \(\frac{19}{2}\).