Определите интервалы возрастания и убывания функции: у=1- 4/4х-1​

Aleksandrovna

6

Чтобы определить интервалы возрастания и убывания функции, мы должны проанализировать её производную. В данной задаче функция, которую нам нужно исследовать, задана выражением \(y = 1 - \frac{4}{4x-1}\).

Шаг 1: Найдём производную функции \(y\) по переменной \(x\). При нахождении производной мы должны применить правило дифференцирования для частного двух функций (в данном случае, числитель и знаменатель дроби).

Наша функция задана в виде \(y = 1 - \frac{4}{4x-1}\). Здесь, числитель равен константе 1, а знаменатель равен \(4x-1\). Применяем правило дифференцирования для частного, получаем:

\[\frac{dy}{dx} = 0 - \frac{4 \times (4)}{(4x-1)^2}\]

Упрощая данное выражение, получим:

\[\frac{dy}{dx} = -\frac{16}{(4x-1)^2}\]

Шаг 2: Теперь, когда у нас есть производная функции \(y\), найдём значения \(x\), при которых производная равна нулю или не определена. Эти точки называются критическими точками и могут определять экстремумы функции или точки перегиба.

Найдём, когда производная равна нулю:

\[-\frac{16}{(4x-1)^2} = 0\]

Здесь мы видим, что производная равна нулю, когда знаменатель равен нулю:

\[(4x-1)^2 = 0\]

Решаем данное уравнение:

\[4x-1 = 0\]

\[4x = 1\]

\[x = \frac{1}{4}\]

Таким образом, точка \(\left(\frac{1}{4}, y\left(\frac{1}{4}\right)\right)\) является критической точкой.

Шаг 3: Теперь мы знаем, что у функции есть критическая точка \(\left(\frac{1}{4}, y\left(\frac{1}{4}\right)\right)\). Для определения интервалов возрастания и убывания функции, мы можем использовать знаки производной в интервалах между этой точкой и за её пределами.

Для этого выберем произвольную точку \(x_1\) левее \(\frac{1}{4}\) и другую произвольную точку \(x_2\) правее \(\frac{1}{4}\), затем найдём знаки производной в этих интервалах, чтобы определить возрастание или убывание функции.

Выберем \(x_1 = 0\) и \(x_2 = 1\) как произвольные точки.

Вычислим знак производной для \(x_1 = 0\):

\[\frac{dy}{dx}\Bigg|_{x=0} = -\frac{16}{(4(0)-1)^2} = -\frac{16}{(-1)^2} = -16\]

Производная отрицательна при \(x_1 = 0\), а значит, функция \(y\) убывает на интервале \((-\infty, \frac{1}{4})\).

Вычислим знак производной для \(x_2 = 1\):

\[\frac{dy}{dx}\Bigg|_{x=1} = -\frac{16}{(4(1)-1)^2} = -\frac{16}{(3)^2} = -\frac{16}{9}\]

Производная отрицательна при \(x_2 = 1\), что означает, что функция \(y\) также убывает на интервале \((\frac{1}{4}, \infty)\).

Таким образом, исходя из анализа производной, мы можем сделать вывод, что функция \(y = 1 - \frac{4}{4x-1}\) убывает на всей числовой прямой за исключением точки \(\left(\frac{1}{4}, y\left(\frac{1}{4}\right)\right)\), где она достигает своего минимума.

Надеюсь, ответ был понятен! Если у вас есть ещё вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать.