Определите интервалы возрастания и убывания функции: у=1- 4/4х-1​

  • 44
Определите интервалы возрастания и убывания функции: у=1- 4/4х-1​
Aleksandrovna
6
Чтобы определить интервалы возрастания и убывания функции, мы должны проанализировать её производную. В данной задаче функция, которую нам нужно исследовать, задана выражением y=144x1.

Шаг 1: Найдём производную функции y по переменной x. При нахождении производной мы должны применить правило дифференцирования для частного двух функций (в данном случае, числитель и знаменатель дроби).

Наша функция задана в виде y=144x1. Здесь, числитель равен константе 1, а знаменатель равен 4x1. Применяем правило дифференцирования для частного, получаем:

dydx=04×(4)(4x1)2

Упрощая данное выражение, получим:

dydx=16(4x1)2

Шаг 2: Теперь, когда у нас есть производная функции y, найдём значения x, при которых производная равна нулю или не определена. Эти точки называются критическими точками и могут определять экстремумы функции или точки перегиба.

Найдём, когда производная равна нулю:

16(4x1)2=0

Здесь мы видим, что производная равна нулю, когда знаменатель равен нулю:

(4x1)2=0

Решаем данное уравнение:

4x1=0

4x=1

x=14

Таким образом, точка (14,y(14)) является критической точкой.

Шаг 3: Теперь мы знаем, что у функции есть критическая точка (14,y(14)). Для определения интервалов возрастания и убывания функции, мы можем использовать знаки производной в интервалах между этой точкой и за её пределами.

Для этого выберем произвольную точку x1 левее 14 и другую произвольную точку x2 правее 14, затем найдём знаки производной в этих интервалах, чтобы определить возрастание или убывание функции.

Выберем x1=0 и x2=1 как произвольные точки.

Вычислим знак производной для x1=0:

dydx|x=0=16(4(0)1)2=16(1)2=16

Производная отрицательна при x1=0, а значит, функция y убывает на интервале (,14).

Вычислим знак производной для x2=1:

dydx|x=1=16(4(1)1)2=16(3)2=169

Производная отрицательна при x2=1, что означает, что функция y также убывает на интервале (14,).

Таким образом, исходя из анализа производной, мы можем сделать вывод, что функция y=144x1 убывает на всей числовой прямой за исключением точки (14,y(14)), где она достигает своего минимума.

Надеюсь, ответ был понятен! Если у вас есть ещё вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать.