Где находится точка минимума функции Y = 15 + 147x - x^3?

Yard_6522

55

Для определения точки минимума функции нам необходимо найти значение аргумента \(x\), при котором значение функции \(Y\) будет минимальным.

Для начала, построим график данной функции. Это поможет нам визуализировать форму графика и найти минимальную точку.

Для этого нам понадобятся значения функции \(Y\) для различных значений аргумента \(x\). Подставим в функцию различные значения \(x\) и найдём соответствующие значения \(Y\):

Для \(x = -5\): \(Y = 15 + 147(-5) - (-5)^3 = -1910\)

Для \(x = -4\): \(Y = 15 + 147(-4) - (-4)^3 = -1093\)

Для \(x = -3\): \(Y = 15 + 147(-3) - (-3)^3 = -597\)

Для \(x = -2\): \(Y = 15 + 147(-2) - (-2)^3 = -221\)

Для \(x = -1\): \(Y = 15 + 147(-1) - (-1)^3 = 145\)

Для \(x = 0\): \(Y = 15 + 147(0) - 0^3 = 15\)

Для \(x = 1\): \(Y = 15 + 147(1) - 1^3 = 161\)

Для \(x = 2\): \(Y = 15 + 147(2) - 2^3 = 267\)

Для \(x = 3\): \(Y = 15 + 147(3) - 3^3 = 375\)

Для \(x = 4\): \(Y = 15 + 147(4) - 4^3 = 485\)

Для \(x = 5\): \(Y = 15 + 147(5) - 5^3 = 597\)

Теперь, когда у нас есть значения функции \(Y\), построим график:

\[graph\]

По графику можно заметить, что функция \(Y\) представляет собой параболу, открывающуюся вниз. Следовательно, её вершина будет являться точкой минимума.

Чтобы найти координаты вершины параболы, воспользуемся формулой для определения значения аргумента вершины параболы: \(x = -\frac{b}{2a}\)

В данной функции коэффициенты \(a = -1\), \(b = 147\), \(c = 15\).

Подставим значения коэффициентов в формулу и рассчитаем значение аргумента \(x\):

\[x = -\frac{147}{2(-1)} = \frac{147}{2}\]

Теперь, чтобы найти значение функции \(Y\) в точке минимума, подставим \(x = \frac{147}{2}\) в исходную функцию:

\[Y = 15 + 147\left(\frac{147}{2}\right) - \left(\frac{147}{2}\right)^3\]

Рассчитаем значение:

\[Y = 15 + \frac{147 \cdot 147}{2} - \frac{147 \cdot 147 \cdot 147}{8}\]

\[Y = 15 + \frac{147^2}{2} - \frac{147^3}{8}\]

Теперь, подсчитаем значение \(Y\):

\[Y \approx -6618.38\]

Итак, точка минимума функции \(Y = 15 + 147x - x^3\) находится при \(x \approx \frac{147}{2}\) и соответствующее значение функции \(Y\) составляет примерно -6618.38.