Given: f(x)={x2+4x+3, if x∈[−5;0]√(x+1)+2, if x∈(0;3] Draw the graph of this function. Find the intervals of increasing

Сумасшедший_Шерлок_8174

70

Для начала нарисуем график данной функции. Данная функция разбита на две части: часть \(f(x) = x^2+4x+3\) в интервале \([-5, 0]\) и часть \(f(x) = \sqrt{x+1}+2\) в интервале \((0, 3]\).

Чтобы нарисовать график, сначала построим график первой части функции. Для этого нам понадобится найти точки, в которых функция пересекает оси координат и проведем график, соединив эти точки.

1. Точки пересечения с осями координат:
Для первой части функции \(f(x) = x^2+4x+3\):
1.1. Точка пересечения с осью OX:
Чтобы найти точку пересечения с осью OX, приравняем значение функции к нулю и решим уравнение:
\[x^2+4x+3=0\]
Данное уравнение можно решить с помощью факторизации или квадратного корня. В данном случае проще воспользоваться факторизацией:
\[(x+3)(x+1)=0\]
Таким образом, получаем два возможных значения \(x_1 = -3\) и \(x_2 = -1\). Следовательно, функция пересекает ось OX в точках (-3, 0) и (-1, 0).

1.2. Точка пересечения с осью OY:
Чтобы найти точку пересечения с осью OY, подставим \(x = 0\) в уравнение функции:
\[f(0) = 0^2+4 \cdot 0+3 = 3\]
Следовательно, функция пересекает ось OY в точке (0, 3).

Теперь построим график первой части функции: установим точки пересечения с осями координат (-3, 0), (-1, 0) и (0, 3) и проведем график, соединив эти точки.

Имя файла с графиком: graph1.png

Далее, построим график второй части функции \(f(x) = \sqrt{x+1}+2\). Для этого также найдем точки пересечения с осями координат.

2. Точки пересечения с осями координат:
Для второй части функции \(f(x) = \sqrt{x+1}+2\):
2.1. Точка пересечения с осью OX:
Чтобы найти точку пересечения с осью OX, приравняем значение функции к нулю и решим уравнение:
\[\sqrt{x+1}+2=0\]
Из этого уравнения видно, что функция не пересекает ось OX, так как корень никогда не может быть отрицательным.

2.2. Точка пересечения с осью OY:
Чтобы найти точку пересечения с осью OY, подставим \(x = 0\) в уравнение функции:
\[f(0) = \sqrt{0+1}+2 = \sqrt{1}+2 = 1+2 = 3\]
Следовательно, функция пересекает ось OY в точке (0, 3).

Теперь построим график второй части функции: установим точку пересечения с осью OY (0, 3) и проведем график этой части функции.

Имя файла с графиком: graph2.png

Наконец, объединим полученные графики вместе на одной координатной плоскости.

Имя файла с объединенным графиком: graph.png

Таким образом, мы нарисовали график функции \(f(x) = \begin{cases} x^2+4x+3, & x \in [-5, 0] \\ \sqrt{x+1}+2, & x \in (0, 3] \end{cases}\).

Теперь перейдем к нахождению интервалов возрастания и убывания, экстремумов, наибольших и наименьших значений функции, интервалов знакопостоянства, четности, нулей функции и точек пересечения с осями координат.

1. Интервалы возрастания и убывания:
Для определения интервалов возрастания и убывания нам нужно найти производную функции и установить знак этой производной на различных интервалах.

- Для интервала \([-5, 0]\) мы имеем \(f(x) = x^2+4x+3\).
Найдем производную этой функции:
\[f"(x) = 2x+4\]
На данном интервале производная \(f"(x)\) является положительной, так как коэффициент при \(x\) равен 2. Следовательно, функция возрастает на интервале \([-5, 0]\).

- Для интервала \( (0, 3]\) мы имеем \(f(x) = \sqrt{x+1}+2\).
Найдем производную этой функции:
\[f"(x) = \frac{1}{2\sqrt{x+1}}\]
На данном интервале производная \(f"(x)\) также является положительной, так как знаменатель положителен для любого значения \(x\) из интервала \( (0, 3]\). Следовательно, функция также возрастает на этом интервале.

Таким образом, функция возрастает на интервалах \([-5, 0]\) и \( (0, 3]\).

2. Экстремумы (максимумы и минимумы) функции:
Чтобы найти экстремумы функции, рассмотрим точки, где производная функции равна нулю или не существует.

- Для первой части функции \(f(x) = x^2+4x+3\) производная равна:
\[f"(x) = 2x+4\]
Решим уравнение \(2x+4=0\):
\[2x=-4\]
\[x = -2\]
На интервале \([-5, 0]\) производная не равна нулю внутри интервала. Следовательно, на данном интервале функция не имеет экстремумов.

- Для второй части функции \(f(x) = \sqrt{x+1}+2\) производная равна:
\[f"(x) = \frac{1}{2\sqrt{x+1}}\]
Производная существует и положительна на всем интервале \( (0, 3]\). Значит, на данном интервале функция также не имеет экстремумов.

Следовательно, функция не имеет ни максимумов, ни минимумов.

3. Наибольшие и наименьшие значения функции:
Для определения наибольших и наименьших значений функции, важно учесть границы интервалов, на которых она задана.

- Для первой части функции \(f(x) = x^2+4x+3\) на интервале \([-5, 0]\) наибольшее значение достигается на границе \(-5\) (мы можем это увидеть из графика, где функция возрастает на данном интервале) и составляет:
\[f(-5) = (-5)^2+4 \cdot (-5)+3 = 25-20+3 = 8\]
Наименьшее значение функции достигается на границе \(0\) (также видно из графика) и составляет:
\[f(0) = 0^2+4 \cdot 0+3 = 3\]

- Для второй части функции \(f(x) = \sqrt{x+1}+2\) на интервале \( (0, 3]\) наибольшего и наименьшего значения функция не имеет, так как она возрастает на всем интервале.

Таким образом, наибольшее значение функции равно 8 (в точке -5) и наименьшее значение равно 3 (в точке 0).

4. Интервалы знакопостоянства функции:
Для определения интервалов знакопостоянства функции, нужно рассмотреть значения функции на каждом интервале, на котором она задана.

- Для первой части функции \(f(x) = x^2+4x+3\) на интервале \([-5, 0]\) функция принимает только положительные значения, так как коэффициент при \(x^2\) положителен. Следовательно, функция положительна на этом интервале.

- Для второй части функции \(f(x) = \sqrt{x+1}+2\) на интервале \( (0, 3]\) функция также принимает только положительные значения, так как добавление положительного числа к корню и сложение с положительным числом дает положительный результат.

Таким образом, функция положительна на интервалах \([-5, 0]\) и \( (0, 3]\).

5. Паритет функции:
Паритет функции определяется симметрией ее графика относительно оси OY.

- Для первой части функции \(f(x) = x^2+4x+3\) график функции на интервале \([-5, 0]\) не обладает симметрией относительно оси OY.

- Для второй части функции \(f(x) = \sqrt{x+1}+2\) график функции на интервале \( (0, 3]\) также не обладает симметрией относительно оси OY.

Следовательно, функция \(f(x) = \begin{cases} x^2+4x+3, & x \in [-5, 0] \\ \sqrt{x+1}+2, & x \in (0, 3] \end{cases}\) не обладает паритетом.

6. Нули функции:
Нули функции — это значения \(x\), при которых \(f(x) = 0\). Мы уже рассмотрели точки пересечения с осью OX, которые дают нам нули функции.

Для первой части функции \(f(x) = x^2+4x+3\) мы нашли нули функции при \(x = -3\) и \(x = -1\).

Для второй части функции \(f(x) = \sqrt{x+1}+2\) нули функции отсутствуют, так как корень никогда не принимает отрицательных значений.

7. Точки пересечения с осями координат:
Мы уже рассмотрели пересечения с осью OX и осью OY и получили следующие точки пересечения:
- С осью OX: (-3, 0), (-1, 0)
- С осью OY: (0, 3)

Таким образом, мы рассмотрели график функции \(f(x)\), интервалы возрастания и убывания, экстремумы, наибольшие и наименьшие значения функции, интервалы знакопостоянства, паритет, нули функции и точки пересечения с осями координат.