How can the system of equations be solved: x-y=5pi/2 ; sinx=2siny (with a detailed solution)?

Акула_7267

33

Хорошо, мы рассмотрим решение системы уравнений шаг за шагом:

Уравнения, которые нам даны:

\[
\begin{align*}
x - y &= \frac{5\pi}{2} \quad \text{(Уравнение 1)} \\
\sin(x) &= 2\sin(y) \quad \text{(Уравнение 2)}
\end{align*}
\]

Мы начнем с Уравнения 2, так как оно более сложное:

Выражаем \(\sin(x)\) через \(\sin(y)\) с помощью тригонометрической формулы "синус двойного угла":

\[
\sin(x) = 2\sin(y) \Rightarrow \sin(x) = 2\sin(y)\cos(y) + 2\cos(y)\sin(y)
\]

Используя тригонометрическую формулу "синус суммы углов":

\[
\sin(x) = 2\sin(y)\cos(y) + 2\cos(y)\sin(y) = 2\sin(y)\cos(y) + 2\sin(y)\cos(y) = 4\sin(y)\cos(y)
\]

Теперь мы можем переписать Уравнение 1 и уравнение, полученное из Уравнения 2:

\[
\begin{align*}
x - y &= \frac{5\pi}{2} \quad \text{(Уравнение 1)} \\
4\sin(y)\cos(y) &= \sin(x) \quad \text{(Уравнение 3)}
\end{align*}
\]

Теперь давайте рассмотрим Уравнение 1:

Добавим y к обеим сторонам:

\[
x = y + \frac{5\pi}{2} \quad \text{(Уравнение 4)}
\]

Теперь мы можем заменить x в Уравнении 3:

\[
4\sin(y)\cos(y) = \sin\left(y + \frac{5\pi}{2}\right)
\]

Заменим \(\sin\left(y + \frac{5\pi}{2}\right)\) с помощью тригонометрической формулы "синус суммы углов" и дистрибутивности синуса:

\[
4\sin(y)\cos(y)=\sin(y)\cos\left(\frac{5\pi}{2}\right) + \cos(y)\sin\left(\frac{5\pi}{2}\right)
\]

Учитывая, что \(\cos\left(\frac{5\pi}{2}\right) = 0\) и \(\sin\left(\frac{5\pi}{2}\right) = 1\), упростим выражение:

\[
4\sin(y)\cos(y) = \sin(y) + 0
\]

Теперь выражение стало более простым:

\[
4\sin(y)\cos(y) = \sin(y)
\]

Данное уравнение распадается на два возможных случая: когда \(\sin(y) = 0\) и когда \(\cos(y) = \frac{1}{4}\). Рассмотрим первый случай:

\[Пусть \sin(y) = 0\]

Это значит, что \(y = 0\) или \(y = \pi\). Мы можем использовать Уравнение 4, чтобы найти соответствующие значения x:

Подставим \(y = 0\) в Уравнение 4:

\[x = 0 + \frac{5\pi}{2} = \frac{5\pi}{2}\]

Подставим \(y = \pi\) в Уравнение 4:

\[x = \pi + \frac{5\pi}{2} = \frac{7\pi}{2}\]

Теперь рассмотрим второй случай:

\[Пусть \cos(y) = \frac{1}{4}\]

Если \(\cos(y) = \frac{1}{4}\), то \(y = \arccos\left(\frac{1}{4}\right)\). Мы можем использовать Уравнение 4, чтобы найти соответствующие значения x:

\[x = \arccos\left(\frac{1}{4}\right) + \frac{5\pi}{2}\]

Таким образом, решение системы уравнений состоит из трех пар значений \((x, y)\):

\[
\begin{align*}
(x, y) &= \left(\frac{5\pi}{2}, 0\right) \\
(x, y) &= \left(\frac{7\pi}{2}, 0\right) \\
(x, y) &= \left(\arccos\left(\frac{1}{4}\right) + \frac{5\pi}{2}, \arccos\left(\frac{1}{4}\right)\right)
\end{align*}
\]

Вот детальное решение системы уравнений. Если у вас возникли еще вопросы, пожалуйста, спрашивайте.