How can you express sine, cosine, tangent, and cotangent in terms of tga/2?

Alla

4

Для начала, давайте вспомним определения тангенса и котангенса:
\[ \mathrm{tg}(x) = \frac{\mathrm{sin}(x)}{\mathrm{cos}(x)} \]
\[ \mathrm{ctg}(x) = \frac{\mathrm{cos}(x)}{\mathrm{sin}(x)} \]

Теперь мы можем использовать эти определения, чтобы выразить синус, косинус, тангенс и котангенс через тангенс аргумента, поделив каждое из них на соответствующий косинус или синус:
\[ \mathrm{sin}(x) = \mathrm{cos}(x) \cdot \mathrm{tg}(x) \]
\[ \mathrm{cos}(x) = \mathrm{sin}(x) \cdot \mathrm{ctg}(x) \]
\[ \mathrm{tg}(x) = \frac{\mathrm{sin}(x)}{\mathrm{cos}(x)} \]
\[ \mathrm{ctg}(x) = \frac{\mathrm{cos}(x)}{\mathrm{sin}(x)} \]

Теперь давайте выразим синус, косинус, тангенс и котангенс через \( \frac{t}{2} \):
\[ \mathrm{sin}\left(\frac{t}{2}\right) = \mathrm{cos}\left(\frac{t}{2}\right) \cdot \mathrm{tg}\left(\frac{t}{2}\right) \]
\[ \mathrm{cos}\left(\frac{t}{2}\right) = \mathrm{sin}\left(\frac{t}{2}\right) \cdot \mathrm{ctg}\left(\frac{t}{2}\right) \]
\[ \mathrm{tg}\left(\frac{t}{2}\right) = \frac{\mathrm{sin}\left(\frac{t}{2}\right)}{\mathrm{cos}\left(\frac{t}{2}\right)} \]
\[ \mathrm{ctg}\left(\frac{t}{2}\right) = \frac{\mathrm{cos}\left(\frac{t}{2}\right)}{\mathrm{sin}\left(\frac{t}{2}\right)} \]

Таким образом, мы можем выразить синус, косинус, тангенс и котангенс через аргумент, представленный в виде \( \frac{t}{2} \).