If AB = 4 and AC = 6, what is the area of the shaded region?

Якорица

8

Чтобы найти площадь закрашенной области, нам понадобятся знания о треугольниках.

Дано в условии, что AB = 4 и AC = 6.

Мы видим, что треугольник ABC является прямоугольным, и точка C находится на гипотенузе. Давайте обозначим BC = x.

Так как треугольник ABC прямоугольный, мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения длины гипотенузы.

По теореме Пифагора, если a и b - длины катетов, а c - длина гипотенузы, то выполняется следующее:

\[a^2 + b^2 = c^2.\]

Применяя это к нашему треугольнику, мы получаем:

\[AB^2 + BC^2 = AC^2.\]

Подставляя данные из условия, получим:

\[4^2 + x^2 = 6^2.\]

Выполняя простые вычисления, получим:

\[16 + x^2 = 36.\]

Вычитая 16 из обеих сторон, получим:

\[x^2 = 20.\]

Для нахождения x возьмем квадратный корень из обеих сторон:

\[x = \sqrt{20}.\]

Упрощаем корень:

\[x = \sqrt{4 \cdot 5}.\]

Так как 4 является квадратом, мы можем вынести его из под знака корня:

\[x = 2 \sqrt{5}.\]

Таким образом, мы нашли длину стороны BC.

Теперь, чтобы найти площадь закрашенной области, нам нужно умножить длину BC на половину основания AB:

\[S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC.\]

Подставляя значения, получаем:

\[S = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 2 \sqrt{5}.\]

Выполняя простые вычисления, получаем:

\[S = 4 \sqrt{5}.\]

Таким образом, площадь закрашенной области равна \(4 \sqrt{5}\).