Используя алгоритм, определите координаты точек пересечения окружности с уравнением c2+v2=16 и параболы с уравнением

Yuriy

9

Для решения этой задачи мы можем использовать систему уравнений, состоящую из уравнения окружности \(c^2+v^2=16\) и уравнения параболы \(9v+c^2−36=0\). Давайте найдем точки пересечения этих двух геометрических фигур.

1. Начнем с уравнения окружности. Мы видим, что радиус окружности равен \(\sqrt{16} = 4\). Радиус представляет собой расстояние от центра окружности до любой точки на ней.

2. Теперь рассмотрим уравнение параболы. Подставим значение \(c^2 = 16 - v^2\) в уравнение параболы:
\[9v + (16 - v^2) - 36 = 0\]

3. Упростим уравнение и приведем его к квадратному виду:
\[v^2 + 9v - 20 = 0\]

4. Решим полученное квадратное уравнение с помощью квадратного уравнения \(v = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\), где \(a = 1\), \(b = 9\), и \(c = -20\). Подставим значения:
\[v = \frac{-9 \pm \sqrt{9^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-20)}}{2 \cdot 1}\]
\[v = \frac{-9 \pm \sqrt{81 + 80}}{2}\]
\[v = \frac{-9 \pm \sqrt{161}}{2}\]

5. Теперь найдем соответствующие значения \(c\) для каждого значения \(v\) по формуле \(c^2 = 16 - v^2\):
Для \(v = \frac{-9 + \sqrt{161}}{2}\):
\[c^2 = 16 - \left(\frac{-9 + \sqrt{161}}{2}\right)^2\]
\[c^2 = 16 - \frac{(-9 + \sqrt{161})^2}{4}\]
\[c^2 = 16 - \frac{(-9)^2 + 2 \cdot (-9) \cdot \sqrt{161} + (\sqrt{161})^2}{4}\]
\[c^2 = 16 - \frac{81 - 18\sqrt{161} + 161}{4}\]
\[c^2 = 16 - \frac{242 -18\sqrt{161}}{4}\]
\[c^2 = 16 - \frac{242}{4} + \frac{18\sqrt{161}}{4}\]
\[c^2 = 16 - 60.5 + 4.5\sqrt{161}\]
\[c^2 \approx -44 + 4.5\sqrt{161}\]

Для \(v = \frac{-9 - \sqrt{161}}{2}\):
\[c^2 = 16 - \left(\frac{-9 - \sqrt{161}}{2}\right)^2\]
\[c^2 = 16 - \frac{(-9 - \sqrt{161})^2}{4}\]
\[c^2 = 16 - \frac{(-9)^2 + 2 \cdot (-9) \cdot \sqrt{161} + (\sqrt{161})^2}{4}\]
\[c^2 = 16 - \frac{81 + 18\sqrt{161} + 161}{4}\]
\[c^2 = 16 - \frac{242 + 18\sqrt{161}}{4}\]
\[c^2 = 16 - \frac{242}{4} - \frac{18\sqrt{161}}{4}\]
\[c^2 = 16 - 60.5 - 4.5\sqrt{161}\]
\[c^2 \approx -44 - 4.5\sqrt{161}\]

6. Получаем две пары значений \(c\) и \(v\):
a) \(c^2 + v^2 = -44 + 4.5\sqrt{161} + \left(\frac{-9 + \sqrt{161}}{2}\right)^2 + \left(\frac{-9 + \sqrt{161}}{2}\right) \approx 0, v \approx 2, c \approx -3 - \sqrt{\sqrt{161}}\)
b) \(c^2 + v^2 = -44 - 4.5\sqrt{161} + \left(\frac{-9 - \sqrt{161}}{2}\right)^2 + \left(\frac{-9 - \sqrt{161}}{2}\right) \approx 0, v \approx 2, c \approx \sqrt{\sqrt{161}}\)

Таким образом, точки пересечения окружности с уравнением \(c^2+v^2=16\) и параболы с уравнением \(9v+c^2−36=0\) имеют следующие координаты:
a) \(c \approx -3 - \sqrt{\sqrt{161}}\), \(v \approx 2\)
b) \(c \approx \sqrt{\sqrt{161}}\), \(v \approx 2\)

Исходя из вариантов ответа, правильный вариант будет: \(c = -3 - \sqrt{\sqrt{161}}\), \(v = 2\)