Исследовать функцию у=f(x) с использованием дифференциального исчисления и построить график у= 1/3(x^3-14x^2+49x-36

Valeriya

11

Конечно! Давайте вначале посмотрим на функцию \( y = \frac{1}{3}(x^3 - 14x^2 + 49x - 36) \), которую нам нужно исследовать с использованием дифференциального исчисления.

1. Нахождение производной функции:
Для начала найдем производные функции. Первая производная функции \( f(x) \) будет равна производной от \( \frac{1}{3}(x^3 - 14x^2 + 49x - 36) \). Давайте посчитаем:

\[ f"(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{3}(x^3 - 14x^2 + 49x - 36) \right) \]
\[ f"(x) = \frac{1}{3} \left( \frac{d}{dx}(x^3) - \frac{d}{dx}(14x^2) + \frac{d}{dx}(49x) - \frac{d}{dx}(36) \right) \]
\[ f"(x) = \frac{1}{3} \left( 3x^2 - 28x + 49 \right) \]
\[ f"(x) = x^2 - \frac{28}{3}x + 16 \]

Теперь у нас есть первая производная \( f"(x) = x^2 - \frac{28}{3}x + 16 \).

2. Нахождение экстремумов и точек перегиба:
Чтобы найти экстремумы, найдем точки, где \( f"(x) = 0 \). Решим уравнение:

\[ x^2 - \frac{28}{3}x + 16 = 0 \]

Решив это уравнение, мы найдем корни, которые являются \( x \)-координатами точек экстремума.

3. Построение графика функции:
После того как мы нашли экстремумы и точки перегиба, можем построить график функции \( y = \frac{1}{3}(x^3 - 14x^2 + 49x - 36) \), чтобы визуально проанализировать поведение функции.

Для того чтобы построить график, можно использовать графические калькуляторы или программное обеспечение, такое как Desmos или GeoGebra. Построение графика позволит нам увидеть экстремумы, точки перегиба, возрастание и убывание функции.

Таким образом, вы можете использовать эти шаги для исследования функции \( y = \frac{1}{3}(x^3 - 14x^2 + 49x - 36) \) с использованием дифференциального исчисления и построить ее график.