Які два додатні числа треба перемножити, щоб отримати число 9, що сума їх квадратів була б мінімальною? Знайти суму

Роман

30

Для решения этой задачи мы должны найти два положительных числа, которые при их перемножении дают 9, а сумма их квадратов будет минимальной.

Пусть эти два числа равны \(x\) и \(y\). У нас есть два условия:

1. \(x \cdot y = 9\) - где \(x\) и \(y\) - числа, которые нужно найти.
2. Сумма их квадратов должна быть минимальной - \(x^2 + y^2 = \text{минимальное возможное значение}\).

Мы можем использовать первое условие, чтобы выразить одну переменную через другую. Давайте выразим переменную \(y\) через \(x\):

\[y = \frac{9}{x}\]

Теперь мы можем заменить переменную \(y\) во втором уравнении:

\[x^2 + \left(\frac{9}{x}\right)^2 = \text{минимальное возможное значение}\]

Следующий шаг - найти минимальное значение суммы квадратов. Мы можем найти производную по переменной \(x\) и приравнять к нулю, чтобы найти точку экстремума:

\[\frac{d}{dx} \left(x^2 + \left(\frac{9}{x}\right)^2\right) = 0\]

Вычислим производную:

\[\frac{d}{dx} \left(x^2 + \frac{81}{x^2}\right) = 0\]

\[2x - \frac{162}{x^3} = 0\]

Теперь решим это уравнение относительно \(x\):

\[2x = \frac{162}{x^3}\]

\[2x^4 = 162\]

\[x^4 = \frac{162}{2}\]

\[x^4 = 81\]

\[x = \sqrt[4]{81} = 3\]

Таким образом, мы нашли значение переменной \(x\), равное 3. Теперь мы можем заменить \(x\) в первом уравнении и найти значение \(y\):

\[y = \frac{9}{x} = \frac{9}{3} = 3\]

Итак, два положительных числа, которые нужно перемножить, чтобы получить 9 с минимальной суммой их квадратов, будут 3 и 3.

Сумма этих чисел:

\[3 + 3 = 6\]

Таким образом, сумма этих чисел равна 6.