Яка ймовірність, що з 7 пійманих риб виявиться 3 карасі та 4 окуні?

Chernaya_Roza_3739

32

Для решения этой задачи нам необходимо использовать комбинаторику и вероятность событий.

В данном случае у нас есть 7 пойманных рыб, и нам нужно вычислить вероятность того, что среди них будет 3 карася и 4 окуна.

Чтобы найти вероятность такого события, нам сначала необходимо определить общее количество возможных вариантов распределения этих 7 рыб между карасями и окунями.

В данной задаче порядок следования рыб не имеет значения, поэтому мы будем использовать сочетания без повторений. Формула для вычисления количества сочетаний без повторений из \(n\) по \(k\) выглядит следующим образом:

\[{C_n}^k = \frac{{n!}}{{k!(n - k)!}}\]

Где \(n\) - общее количество рыб (7), а \(k\) - количество карасей (3).

Применяя эту формулу, мы можем вычислить число сочетаний для карасей:

\[{C_7}^3 = \frac{{7!}}{{3!(7 - 3)!}} = \frac{{7!}}{{3! \cdot 4!}}\]

Вычисляя это значение, мы получим:

\[{C_7}^3 = \frac{{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3!}}{{3! \cdot 4 \cdot 3!}} = \frac{{7 \cdot 6 \cdot 5}}{{4}} = 35\]

Теперь мы можем использовать аналогичный подход для определения числа сочетаний для окуней:

\[{C_7}^4 = \frac{{7!}}{{4!(7 - 4)!}} = \frac{{7!}}{{4! \cdot 3!}}\]

Вычисляя это значение, мы получим:

\[{C_7}^4 = \frac{{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3!}}{{4! \cdot 3!}} = \frac{{7 \cdot 6 \cdot 5}}{{3 \cdot 2 \cdot 1}} = 35\]

Теперь, когда у нас есть общее количество вариантов распределения рыб между карасями и окунями (35 для каждого), мы можем вычислить вероятность того, что среди 7 рыб будет 3 карася и 4 окуна. Для этого нам необходимо разделить количество возможных вариантов, удовлетворяющих нашему условию, на общее количество возможных вариантов:

Вероятность = \(\frac{{Количество\ вариантов,\ удовлетворяющих\ условию}}{{Общее\ количество\ вариантов}}\)

В нашем случае это:

Вероятность = \(\frac{{35}}{{35+35}} = \frac{{35}}{{70}} = \frac{{1}}{{2}}\)

Таким образом, вероятность того, что среди 7 пойманных рыб будет 3 карася и 4 окуна, равна \(\frac{{1}}{{2}}\) или 50%.