Из интервала значений x∈[−π; 2π], определите корни уравнения: √3+tgx/1−√3tgx=1. 1. Сколько корней есть? 2. Какой

Лёха

15

Данная задача требует нахождения корней уравнения \( \sqrt{3} + \frac{\tan{x}}{1 - \sqrt{3}\tan{x}} = 1 \) в интервале значений \( x \in [-\pi; 2\pi] \). Давайте пошагово решим эту задачу.

Шаг 1: Для начала, заметим, что в уравнении присутствуют тригонометрические функции, а именно, тангенс и квадратный корень. Для облегчения работы преобразуем уравнение, чтобы избавиться от корня в числителе дроби. Возведем обе части уравнения в квадрат:

\(\left(\sqrt{3} + \frac{\tan{x}}{1 - \sqrt{3}\tan{x}}\right)^2 = 1^2\)

\(\left(\sqrt{3} + \frac{\tan{x}}{1 - \sqrt{3}\tan{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{3} + \frac{\tan{x}}{1 - \sqrt{3}\tan{x}}\right) = 1\)

Шаг 2: Для упрощения вычислений воспользуемся тригонометрическими тождествами. Вспомним, что \(\tan^2{x} + 1 = \sec^2{x}\). Применим это тождество:

\(\left(3 + 2\sqrt{3}\tan{x} + \tan^2{x}\right) \cdot \left(1 - \sqrt{3}\tan{x}\right)^2 = 1\)

Шаг 3: Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

\(3 + 2\sqrt{3}\tan{x} + \tan^2{x} - 3\tan{x} - 3\tan^2{x} + 3\sqrt{3}\tan^2{x} = 1\)

\(2\tan^2{x} - 2\tan{x} + 3\sqrt{3}\tan^2{x} + 2\sqrt{3}\tan{x} = -2\)

\((2 + 3\sqrt{3})\tan^2{x} + (2\sqrt{3} - 2)\tan{x} + 2 = 0\)

Нам необходимо решить квадратное уравнение относительно \(\tan{x}\).

Шаг 4: Используя формулу дискриминанта для квадратного уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\), где \(D = b^2 - 4ac\), найдем дискриминант:

\(D = (2\sqrt{3} - 2)^2 - 4 \cdot (2 + 3\sqrt{3}) \cdot 2\)

\(D = 12 - 20\sqrt{3} + 12 - 32 - 24\sqrt{3}\)

\(D = -44 - 44\sqrt{3}\)

Шаг 5: Определим количество корней квадратного уравнения, исходя из знака дискриминанта. Если \(D > 0\), то уравнение имеет два различных корня, если \(D = 0\), то уравнение имеет единственный корень с кратностью 2, а если \(D < 0\), то уравнение не имеет вещественных корней.

В нашем случае \(D = -44 - 44\sqrt{3} < 0\), значит уравнение не имеет вещественных корней.

Ответ:

1. Уравнение \( \sqrt{3} + \frac{\tan{x}}{1 - \sqrt{3}\tan{x}} = 1 \) не имеет вещественных корней в интервале значений \( x \in [-\pi; 2\pi] \).

2. Уравнение не имеет наименьшего корня.

3. Уравнение не имеет наибольшего корня.