Изобразите график функции y=x^-3 в схематическом виде и опишите ее основные характеристики. Сравните эту функцию

Aleksandrovna

36

Хорошо, давайте решим эту задачу. Для начала, построим график функции \(y=x^{-3}\).

Чтобы выполнить это, нам нужно выбрать несколько значений для переменной \(x\) и использовать эти значения, чтобы найти соответствующие \(y\)-значения.
Давайте выберем несколько значений для \(x\) и найдем соответствующие значения \(y\).

Когда \(x=1\), \(y=1^{-3}=1\) (так как \(1^{-3}=1\)).

Когда \(x=2\), \(y=2^{-3}=1/8\) (так как \(2^{-3}=1/8\)).

Когда \(x=3\), \(y=3^{-3}=1/27\) (так как \(3^{-3}=1/27\)).

Когда \(x=4\), \(y=4^{-3}=1/64\) (так как \(4^{-3}=1/64\)).

Теперь мы можем построить график функции с использованием этих значений:

\[
\begin{array}{c|c}
x & y \\
\hline
1 & 1 \\
2 & 1/8 \\
3 & 1/27 \\
4 & 1/64 \\
\end{array}
\]

Теперь, когда у нас есть значения для нескольких точек, мы можем нарисовать их на координатной плоскости. Для функции \(y=x^{-3}\) ось \(x\) будет горизонтальной осью, а ось \(y\) -- вертикальной осью.

Давайте построим график с использованием этих точек и соединением их прямыми линиями:

\[
\begin{array}{c}
\begin{array}{cccc}
\text{.} & \text{.} & \text{.} & \text{.}
\end{array} \\
\begin{array}{cccc}
\text{.} & \circ & \circ & \circ
\end{array} \\
\begin{array}{cccc}
\text{.} & \circ & \circ & \circ \\
\end{array} \\
\begin{array}{cccc}
\text{.} & \circ & \circ & \circ \\
\end{array}
\end{array}
\]

Здесь точки обозначены символом \(\circ\), а линии обозначены символом \(\text{.}\). Из графика можно заметить, что функция \(y=x^{-3}\) имеет форму гиперболы, которая проходит через точки \((1,1)\), \((2,1/8)\), \((3,1/27)\) и \((4,1/64)\).

Теперь давайте рассмотрим основные характеристики этой функции:

1. Область определения: функция \(y=x^{-3}\) определена для всех значений \(x\), кроме нуля, так как деление на ноль неопределено.

2. Область значений: функция \(y=x^{-3}\) будет принимать положительные значения, так как отрицательное число возводится в отрицательную степень, что дает положительный результат. Также, функция стремится к бесконечности при \(x\) стремящемся к нулю справа и стремится к нулю при \(x\) стремящемся к бесконечности.

3. Четность и нечетность: функция \(y=x^{-3}\) является нечетной, так как при смене знака переменной \(x\) знак значения функции также меняется.

4. Асимптоты: у функции \(y=x^{-3}\) есть две вертикальные асимптоты: вертикальная асимптота в точке \(x=0\) и вертикальная асимптота, когда \(x\) стремится к бесконечности или к минус бесконечности. Также, имеется горизонтальная асимптота, при \(y=0\), так как \(x^{-3}\) стремится к нулю при больших значениях \(x\).

Теперь давайте сравним функцию \(y=x^{-3}\) с другими функциями, используя ее свойства:

- Функция \(y=x^{-3}\) имеет обратную зависимость между переменными \(x\) и \(y\), в отличие от линейных функций, которые имеют прямую зависимость.

- График функции \(y=x^{-3}\) более характеризуется своей кривизной, в отличие от линейных функций или функций с положительной степенью.

- Функция \(y=x^{-3}\) имеет вертикальные и горизонтальные асимптоты, что различает ее от функций без асимптот.

Надеюсь, эта подробная информация помогла вам понять график функции \(y=x^{-3}\) и ее основные характеристики. Если у вас возникнут еще вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задать их!