Какое уравнение имеет касательная к графику кривой в точке (1; 1), если уравнение кривой задано как y = 1/3x^3 + 1/2x^2
Какое уравнение имеет касательная к графику кривой в точке (1; 1), если уравнение кривой задано как y = 1/3x^3 + 1/2x^2 +2x - (1+5/6)?
Pylayuschiy_Drakon 44
Для начала, давайте разберемся, что такое касательная к графику кривой в заданной точке. Касательная - это прямая линия, которая касается графика кривой в определенной точке, и она имеет ту же наклон, что и кривая в этой точке.Для того чтобы найти уравнение касательной, мы будем использовать производную функции, заданной уравнением кривой. Производная функции показывает изменение функции на каждом значении x.
Давайте найдем производную функции y =
Для простоты вычислений приведем уравнение к общему виду:
y =
Производная функции определяется по правилам дифференцирования, а именно:
- Если у функции есть слагаемое вида
- С производной константы мы ничего не делаем, она всегда равна нулю.
- При дифференцировании суммы функций мы дифференцируем каждую функцию в отдельности.
Применяя данные правила, найдем производную функции y.
Производная первого слагаемого
Производная второго слагаемого
Производная третьего слагаемого 2x равна 2.
Производная константы
Теперь можно записать производную функцию, найдя сумму производных для каждого слагаемого:
y" = x^2 + x + 2.
Теперь у нас есть производная функции, и мы можем использовать ее, чтобы найти наклон кривой в точке (1; 1).
Для этого мы подставим значение x=1 в производную функцию:
y"(1) = 1^2 + 1 + 2 = 1 + 1 + 2 = 4.
Таким образом, наклон кривой в точке (1; 1) составляет 4.
У нас также есть координаты точки (1; 1). Это означает, что касательная к графику пройдет через эту точку.
Мы знаем, что уравнение прямой имеет вид y = kx + b, где k - это наклон, а b - это точка пересечения с осью y (y-пересечение).
Теперь мы можем использовать полученные наклон и координату для нахождения точек касательной.
Итак, у нас есть:
Наклон (k) = 4,
Точка (x, y) = (1, 1).
Подставим эти значения в уравнение прямой:
1 = 4 * 1 + b.
Выполняя вычисления, получим:
1 = 4 + b,
b = 1 - 4,
b = -3.
Таким образом, уравнение касательной к графику кривой в точке (1; 1) будет иметь вид:
y = 4x - 3.