Какое уравнение имеет касательная к графику кривой в точке (1; 1), если уравнение кривой задано как y = 1/3x^3 + 1/2x^2

  • 18
Какое уравнение имеет касательная к графику кривой в точке (1; 1), если уравнение кривой задано как y = 1/3x^3 + 1/2x^2 +2x - (1+5/6)?
Pylayuschiy_Drakon
44
Для начала, давайте разберемся, что такое касательная к графику кривой в заданной точке. Касательная - это прямая линия, которая касается графика кривой в определенной точке, и она имеет ту же наклон, что и кривая в этой точке.

Для того чтобы найти уравнение касательной, мы будем использовать производную функции, заданной уравнением кривой. Производная функции показывает изменение функции на каждом значении x.

Давайте найдем производную функции y = 13x3+12x2+2x(1+56).

Для простоты вычислений приведем уравнение к общему виду:
y = 13x3+12x2+2x116.

Производная функции определяется по правилам дифференцирования, а именно:
- Если у функции есть слагаемое вида axn, то производная этого слагаемого равна naxn1.
- С производной константы мы ничего не делаем, она всегда равна нулю.
- При дифференцировании суммы функций мы дифференцируем каждую функцию в отдельности.

Применяя данные правила, найдем производную функции y.

Производная первого слагаемого 13x3 равна 133x31=x2.

Производная второго слагаемого 12x2 равна 122x21=x.

Производная третьего слагаемого 2x равна 2.

Производная константы 116 равна 0.

Теперь можно записать производную функцию, найдя сумму производных для каждого слагаемого:

y" = x^2 + x + 2.

Теперь у нас есть производная функции, и мы можем использовать ее, чтобы найти наклон кривой в точке (1; 1).

Для этого мы подставим значение x=1 в производную функцию:

y"(1) = 1^2 + 1 + 2 = 1 + 1 + 2 = 4.

Таким образом, наклон кривой в точке (1; 1) составляет 4.

У нас также есть координаты точки (1; 1). Это означает, что касательная к графику пройдет через эту точку.

Мы знаем, что уравнение прямой имеет вид y = kx + b, где k - это наклон, а b - это точка пересечения с осью y (y-пересечение).

Теперь мы можем использовать полученные наклон и координату для нахождения точек касательной.

Итак, у нас есть:
Наклон (k) = 4,
Точка (x, y) = (1, 1).

Подставим эти значения в уравнение прямой:
1 = 4 * 1 + b.

Выполняя вычисления, получим:
1 = 4 + b,
b = 1 - 4,
b = -3.

Таким образом, уравнение касательной к графику кривой в точке (1; 1) будет иметь вид:
y = 4x - 3.