Какое уравнение имеет касательная к графику кривой в точке (1; 1), если уравнение кривой задано как y = 1/3x^3 + 1/2x^2

Pylayuschiy_Drakon

44

Для начала, давайте разберемся, что такое касательная к графику кривой в заданной точке. Касательная - это прямая линия, которая касается графика кривой в определенной точке, и она имеет ту же наклон, что и кривая в этой точке.

Для того чтобы найти уравнение касательной, мы будем использовать производную функции, заданной уравнением кривой. Производная функции показывает изменение функции на каждом значении x.

Давайте найдем производную функции y = \(\frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2 + 2x - (1+\frac{5}{6})\).

Для простоты вычислений приведем уравнение к общему виду:
y = \(\frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2 + 2x - \frac{11}{6}\).

Производная функции определяется по правилам дифференцирования, а именно:
- Если у функции есть слагаемое вида \(ax^n\), то производная этого слагаемого равна \(n \cdot a \cdot x^{n-1}\).
- С производной константы мы ничего не делаем, она всегда равна нулю.
- При дифференцировании суммы функций мы дифференцируем каждую функцию в отдельности.

Применяя данные правила, найдем производную функции y.

Производная первого слагаемого \(\frac{1}{3}x^3\) равна \(\frac{1}{3} \cdot 3 \cdot x^{3-1} = x^2\).

Производная второго слагаемого \(\frac{1}{2}x^2\) равна \(\frac{1}{2} \cdot 2 \cdot x^{2-1} = x\).

Производная третьего слагаемого 2x равна 2.

Производная константы \(-\frac{11}{6}\) равна 0.

Теперь можно записать производную функцию, найдя сумму производных для каждого слагаемого:

y" = x^2 + x + 2.

Теперь у нас есть производная функции, и мы можем использовать ее, чтобы найти наклон кривой в точке (1; 1).

Для этого мы подставим значение x=1 в производную функцию:

y"(1) = 1^2 + 1 + 2 = 1 + 1 + 2 = 4.

Таким образом, наклон кривой в точке (1; 1) составляет 4.

У нас также есть координаты точки (1; 1). Это означает, что касательная к графику пройдет через эту точку.

Мы знаем, что уравнение прямой имеет вид y = kx + b, где k - это наклон, а b - это точка пересечения с осью y (y-пересечение).

Теперь мы можем использовать полученные наклон и координату для нахождения точек касательной.

Итак, у нас есть:
Наклон (k) = 4,
Точка (x, y) = (1, 1).

Подставим эти значения в уравнение прямой:
1 = 4 * 1 + b.

Выполняя вычисления, получим:
1 = 4 + b,
b = 1 - 4,
b = -3.

Таким образом, уравнение касательной к графику кривой в точке (1; 1) будет иметь вид:
y = 4x - 3.