Известно, что в кошельке было n монет, каждая из которых могла иметь достоинство 2, 5 или 10 рублей. Лена совершила

Валентина

17

Давайте решим эту задачу пошагово.

Пусть количество монет в кошельке, имеющих достоинство 2 рубля, равно "а", количество монет достоинством 5 рублей равно "b", количество монет достоинством 10 рублей равно "с". Так как Лена израсходовала все монеты из кошелька, то сумма денег в них равна стоимости альбома:

\[2а + 5b + 10c = 96\]

Также известно, что в кошельке было n монет:

\[а + b + c = n\]

Теперь давайте подставим это в систему уравнений и решим её.

Сначала выразим "а" через "b" и "с" из уравнения \(а + b + с = n\):

\[а = n - b - с\]

Подставим это в уравнение \(2а + 5b + 10c = 96\):

\[2(n - b - с) + 5b + 10c = 96\]

Раскроем скобки и упростим уравнение:

\[2n - 2b - 2c + 5b + 10c = 96\]
\[2n + 3b + 8c = 96\]

Далее, мы знаем, что достоинство каждой монеты может быть только 2, 5 или 10 рублей, значит, \(a\), \(b\) и \(c\) должны быть неотрицательными целыми числами.

Теперь давайте проанализируем возможные значения коэффициента \(c\). Если \(c = 0\), то сумма \(2n + 3b\) должна быть кратна 8. Если \(c = 1\), то сумма \(2n + 3b + 8\) должна быть кратна 8. Если \(c = 2\), то сумма \(2n + 3b + 16\) должна быть кратна 8, и так далее.

Заметим, что \(2n\) всегда будет кратно 2, поэтому величина \(3b + 8c\) должна быть кратна 2 для того, чтобы сумма \(2n + 3b + 8c\) была кратна 8.

Теперь давайте рассмотрим возможные случаи для величины \(3b + 8c\):

1. \(3b + 8c = 0\). В этом случае, если \(c = 0\), то \(3b\) также должно быть равно 0. Это означает, что \(b = 0\) и \(a = n\), то есть в кошельке нет монет достоинством 5 и 10 рублей.
2. \(3b + 8c = 2\). В этом случае, \(3b\) должно быть равно 2. Единственное возможное значение для \(b\) в этом случае - 2, а \(c\) должно быть равно 0.
3. \(3b + 8c = 4\). В этом случае, \(3b\) должно быть равно 4. Возможные значения для \(b\) - 1 и 3, а \(c\) должно быть равно 0.
4. \(3b + 8c = 6\). В этом случае, \(3b\) должно быть равно 6. Единственное возможное значение для \(b\) в этом случае - 2, а \(c\) должно быть равно 1.
5. \(3b + 8c = 8\). В этом случае, \(3b\) должно быть равно 8. Возможные значения для \(b\) - 2 и 5, а \(c\) должно быть равно 0.
6. \(3b + 8c = 10\). В этом случае, \(3b\) должно быть равно 10. Возможные значения для \(b\) - 1 и 4, а \(c\) должно быть равно 1.
7. \(3b + 8c = 12\). В этом случае, \(3b\) должно быть равно 12. Единственное возможное значение для \(b\) в этом случае - 4, а \(c\) должно быть равно 0.
8. \(3b + 8c = 14\). В этом случае, \(3b\) должно быть равно 14. Нет целых значений \(b\) и \(c\), удовлетворяющих этому условию.

Таким образом, мы рассмотрели все возможные варианты для величины \(3b + 8c\), и только в случаях 1, 2, 3, 4, 5 и 6 мы получаем целочисленные значения для \(b\) и \(c\).

Давайте рассмотрим каждый из этих случаев отдельно и найдём соответствующие значения для \(a\), \(b\) и \(c\):

1. \(3b + 8c = 0\). Если \(b = 0\), то \(a = n - 0 - 0 = n\). Монеты достоинством 2 рубля - это все монеты в кошельке, так как нет монет достоинством 5 и 10 рублей.
2. \(3b + 8c = 2\). Если \(b = 2\), то \(a = n - 2 - 0 = n - 2\). В кошельке находятся две монеты достоинством 5 рублей (5 рублей и 5 рублей), а монет достоинством 10 рублей нет.
3. \(3b + 8c = 4\). Если \(b = 1\), то \(a = n - 1 - 0 = n - 1\). В кошельке находится одна монета достоинством 5 рублей и одна монета достоинством 2 рубля.
4. \(3b + 8c = 6\). Если \(b = 2\), то \(a = n - 2 - 1 = n - 3\). В кошельке находятся две монеты достоинством 5 рублей и одна монета достоинством 10 рублей.
5. \(3b + 8c = 8\). Если \(b = 2\), то \(a = n - 2 - 0 = n - 2\). В кошельке находятся две монеты достоинством 5 рублей и две монеты достоинством 10 рублей.
6. \(3b + 8c = 10\). Если \(b = 1\), то \(a = n - 1 - 1 = n - 2\). В кошельке находится одна монета достоинством 5 рублей и три монеты достоинством 10 рублей.

Таким образом, наименьшее количество монет достоинством в пять рублей, которое могло находиться в кошельке, зависит от значения "b" и равно:

- В случае 1: 0 монет достоинством 5 рублей.
- В случае 2: 2 монеты достоинством 5 рублей.
- В случае 3: 1 монета достоинством 5 рублей.
- В случае 4: 2 монеты достоинством 5 рублей.
- В случае 5: 2 монеты достоинством 5 рублей.
- В случае 6: 1 монета достоинством 5 рублей.

Предоставленные решения позволяют определить наименьшее количество монет достоинством в пять рублей, которое могло находиться в кошельке в зависимости от заданного значения "n".