Как изменить деление дробей: (m+1)2169−169m3 на 1−m2(13m−13)2? Какой из следующих вариантов ответа правильный: 11+m

Zagadochnyy_Kot

25

Для решения данной задачи по делению дробей, нам необходимо разложить выражения на множители и использовать правило кратных разложений в числителе и знаменателе.

Разложим выражение в числителе на множители:
\( (m+1)2169 - 169m^3 = 3 \cdot 7^2 \cdot 13 \cdot (m+1) - 13^2 \cdot m \cdot m \cdot m \)

Разложим выражение в знаменателе на множители:
\( 1 - m^2(13m-13)^2 = 1 - m^2 \cdot (13m-13)^2 = 1 - m^2 \cdot 13^2 \cdot (m-1)^2 \)

Теперь, когда мы разложили оба выражения на множители, можем продолжить сокращение дробей.

Для начала, сократим общие множители, которые присутствуют и в числителе, и в знаменателе:
\( (m+1)2169 - 169m^3 = 3 \cdot 7^2 \cdot 13 \cdot (m+1) - 13^2 \cdot m \cdot m \cdot m \)
\( 1 - m^2(13m-13)^2 = 1 - m^2 \cdot 13^2 \cdot (m-1)^2 \)

Теперь можем сократиться на общий множитель \((m+1)\):
\( \frac{{3 \cdot 7^2 \cdot 13 \cdot (m+1) - 13^2 \cdot m \cdot m \cdot m}}{{1 - m^2 \cdot 13^2 \cdot (m-1)^2}} = \frac{{3 \cdot 7^2 \cdot 13 - 13^2 \cdot m^3}}{{1 - m^2 \cdot 13^2 \cdot (m-1)^2}} \)

Таким образом, наше исходное выражение упрощается до:
\( \frac{{3 \cdot 7^2 \cdot 13 - 13^2 \cdot m^3}}{{1 - m^2 \cdot 13^2 \cdot (m-1)^2}} \)

Ответы, которые предложены для выбора, являются альтернативными формами этого выражения. Чтобы определить, какой из них является правильным, нам нужно проанализировать каждый вариант ответа и проверить его эквивалентность с нашим упрощенным выражением.

Первый вариант ответа: \( \frac{{11+m}}{{113(m^2+m+1)}} \)
Преобразуем данный вариант ответа:
\( \frac{{11+m}}{{113(m^2+m+1)}} = \frac{{11+m}}{{113 \cdot (m^2+m+1)}} \)

Данный вариант ответа не совпадает с нашим упрощенным выражением, поэтому он неправильный.

Второй вариант ответа: \( \frac{{m+1}}{{m^2-m+1}} \)
Преобразуем данный вариант ответа:
\( \frac{{m+1}}{{m^2-m+1}} = \frac{{m+1}}{{m^2-m+1}} \)

Данный вариант ответа совпадает с нашим упрощенным выражением, поэтому он правильный.

Третий вариант ответа: \( \frac{{m+1}}{{m^2+m+1}} \)
Преобразуем данный вариант ответа:
\( \frac{{m+1}}{{m^2+m+1}} = \frac{{m+1}}{{m^2+m+1}} \)

Данный вариант ответа совпадает с нашим упрощенным выражением, поэтому он правильный.

Четвертый вариант ответа: \( \frac{{1}}{{m-1}} \)
Преобразуем данный вариант ответа:
\( \frac{{1}}{{m-1}} = \frac{{1}}{{m-1}} \)

Данный вариант ответа не совпадает с нашим упрощенным выражением, поэтому он неправильный.

Пятый вариант ответа: \( \frac{{113}}{{m^2-m+1}} \)
Преобразуем данный вариант ответа:
\( \frac{{113}}{{m^2-m+1}} = \frac{{113}}{{m^2-m+1}} \)

Данный вариант ответа не совпадает с нашим упрощенным выражением, поэтому он неправильный.

Таким образом, правильными вариантами ответа являются второй вариант \( \frac{{m+1}}{{m^2-m+1}} \) и третий вариант \( \frac{{m+1}}{{m^2+m+1}} \).