Как изменяются координаты точки, если скорость прямолинейно движущейся точки меняется по закону v(t)=t+3t^2 и начальные

Сердце_Огня_7798

37

Чтобы решить данную задачу, мы должны вычислить функцию, описывающую изменение координат точки в зависимости от времени. Для этого мы интегрируем заданную скорость.

Изначально, у нас есть закон изменения скорости: \(v(t) = t + 3t^2\).

Помним, что скорость является производной координаты по времени, \(v(t) = \frac{{dx}}{{dt}}\). Обратим эту формулу и найдем \(dx\): \(dx = v(t) \cdot dt\).

Теперь мы можем проинтегрировать обе части равенства: \(\int dx = \int v(t) \cdot dt\).

Интегрирование левой части даёт нам: \(x(t) + C_1\), где \(C_1\) – постоянная интегрирования.

Чтобы проинтегрировать правую часть, разделим функцию скорости на сумму второго и первого слагаемого для удобства: \(v(t) = t + 3t^2 = t(1 + 3t)\).

Теперь мы можем разбить интеграл на две части: \(\int v(t) \cdot dt = \int (t(1 + 3t)) \cdot dt\).

Интегрируем первое слагаемое по правилу простейшего интеграла: \(\int t \cdot dt = \frac{{t^2}}{2}\).
Интегрируем второе слагаемое по правилу интеграла от степенной функции: \(\int 3t^2 \cdot dt = t^3\).

Теперь мы можем заменить интеграл обратно в нашу исходную формулу: \(x(t) + C_1 = \frac{{t^2}}{2} + t^3 + C_2\), где \(C_2\) – константа интегрирования.

Учитывая, что начальные координаты точки равны нулю (\(x(0) = 0\)), мы можем подставить это значение и найти значения констант: \(0 + C_1 = 0 + 0 + C_2\). Таким образом, \(C_1 = C_2\).

Теперь наша итоговая формула будет выглядеть так: \(x(t) = \frac{{t^2}}{2} + t^3 + C\).

Таким образом, координаты точки в зависимости от времени задаются функцией \(x(t) = \frac{{t^2}}{2} + t^3 + C\), где \(C\) – константа.

Надеюсь, это пошаговое решение поможет вам понять, как изменяются координаты точки при заданном законе изменения скорости. Если у вас возникнут еще вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать!