Как можно изменить длину одной из ребер куба, чтобы объем куба увеличился

Валерия

63

Чтобы объем куба увеличился, мы должны изменить длину одной из его ребер таким образом, чтобы новая длина была больше предыдущей.

Пусть исходная длина ребра куба равна \(a\) единицам. Чтобы найти объем \(V\) куба, мы используем формулу \(V = a^3\).

Теперь представим, что мы изменяем длину одного из ребер куба на \(x\) единиц. Тогда новая длина ребра будет равна \(a + x\).

Объем нового куба можно выразить с использованием новой длины ребра: \(V" = (a + x)^3\).

Наша задача состоит в том, чтобы найти такое значение \(x\), которое сделает \(V"\) больше \(V\).

Для этого нам нужно сравнить значения \(V\) и \(V"\).

\[V" = (a + x)^3 = a^3 + 3a^2x + 3ax^2 + x^3\]

Теперь сравним значения \(V\) и \(V"\):

\[V" - V = (a^3 + 3a^2x + 3ax^2 + x^3) - a^3 = 3a^2x + 3ax^2 + x^3\]

Мы хотим, чтобы \(V" - V\) было положительным, поскольку этот разница является изменением объема. То есть:

\[3a^2x + 3ax^2 + x^3 > 0\]

Чтобы решить это неравенство, мы можем вынести общий множитель:

\[x(3a^2 + 3ax + x^2) > 0\]

Теперь у нас есть произведение, которое должно быть положительным. Для этого два случая могут иметь место:

1. Когда \(x > 0\) (положительное значение \(x\)). В этом случае, чтобы произведение было положительным, все три члена в скобках должны быть положительными, потому что произведение двух или трех отрицательных чисел будет отрицательным. Следовательно, мы можем сказать, что \(3a^2 + 3ax + x^2 > 0\) для положительного значения \(x\).

2. Когда \(x < 0\) (отрицательное значение \(x\)). В этом случае произведение будет положительным, только если все три члена в скобках отрицательные, потому что произведение двух или трех положительных чисел будет положительным. Следовательно, мы можем сказать, что \(3a^2 + 3ax + x^2 < 0\) для отрицательного значения \(x\).

Таким образом, мы можем сделать вывод, что чтобы объем куба увеличился, длина ребра должна быть изменена положительным значением \(x\).