Как можно разложить вектор ch по векторам ca и cb в треугольнике abc, где угол c является прямым, длина ab равна

  • 52
Как можно разложить вектор ch по векторам ca и cb в треугольнике abc, где угол c является прямым, длина ab равна 10, длина высоты ch равна 4 и длина ca больше cb?
Antonovich_8954
19
Для разложения вектора CH по векторам CA и CB в треугольнике ABC, мы можем использовать геометрический метод. Давайте последовательно выполним несколько шагов, чтобы понять, как это сделать.

Шаг 1: Найдем длину вектора CA

Для этого нам нужно использовать теорему Пифагора, так как угол C является прямым. Исходя из этого, мы можем записать следующее уравнение:

\[AB^2 = AC^2 + BC^2\]

Подставляя известные значения, получаем:

\[10^2 = CA^2 + 4^2\]

Это уравнение можно решить для CA. Вычислив, получаем:

\[CA = \sqrt{100 - 16} = \sqrt{84} = 2\sqrt{21}\]

Таким образом, длина вектора CA равна \(2\sqrt{21}\).

Шаг 2: Найдем длину вектора CB

Мы уже знаем, что длина вектора CB равна 10, как указано в условии задачи.

Таким образом, длина вектора CB равна 10.

Шаг 3: Разложение вектора CH

Теперь мы можем разложить вектор CH по векторам CA и CB. Определим пропорцию между векторами CA и CB.

Пусть \(k\) - это пропорциональный множитель, тогда мы можем записать следующее:

\[CH = k \cdot CA + k" \cdot CB\]

где \(k"\) - это другой пропорциональный множитель. Наша задача - найти значения \(k\) и \(k"\).

Мы знаем, что высота CH равна 4, таким образом:

\[4 = k \cdot 2\sqrt{21} + k" \cdot 10\]

У нас есть система уравнений:

\[\begin{cases} 4 = k \cdot 2\sqrt{21} + k" \cdot 10 \\ CA = 2\sqrt{21} \\ CB = 10 \end{cases}\]

Теперь давайте решим эту систему уравнений. Для удобства давайте обозначим \(\sqrt{21}\) как \(x\).

\[\begin{cases} 4 = k \cdot 2x + k" \cdot 10 \\ CA = 2x \\ CB = 10 \end{cases}\]

Решаем систему:

\[\begin{align*} 4 &= k \cdot 2x + k" \cdot 10 \\ 2x &= 2x \\ 10 &= 10 \end{align*}\]

Из второго уравнения получаем, что \(k" = 1\).

Подставим этот результат в первое уравнение:

\[4 = k \cdot 2x + 10\]

Вычтем 10 и разделим на 2:

\[k \cdot 2x = -6\]

\[k = -\frac{6}{2x} = -\frac{3}{x}\]

Таким образом, мы нашли значения \(k = -\frac{3}{x}\) и \(k" = 1\).

Теперь мы можем записать разложение вектора CH по векторам CA и CB:

\[CH = -\frac{3}{x} \cdot CA + 1 \cdot CB\]

Подставляя известные значения, получаем:

\[CH = -\frac{3}{\sqrt{21}} \cdot 2\sqrt{21} + 1 \cdot 10\]

\[CH = -6 + 10\]

\[CH = 4\]

Таким образом, вектор CH разлагается по векторам CA и CB следующим образом:

\[CH = 4\]