Как можно решить уравнение (х + 2010)(х + 2011)(х + 2012) = 24 в целых числах?

Якорь

65

Для решения данного уравнения в целых числах мы будем использовать подход, основанный на факторизации числа 24.

Первым шагом раскроем скобки в левой части уравнения. У нас есть произведение трех выражений вида (x + a), где a принимает значения 2010, 2011 и 2012. Упрощая выражение, получим следующее:

(x + 2010)(x + 2011)(x + 2012) = 24.

Раскроем скобки:

(x^2 + 2010x + 2010x + 2010*2011)(x + 2012) = 24.

(x^2 + 4020x + 2010*2011)(x + 2012) = 24.

(x^2 + 4020x + 4032210)(x + 2012) = 24.

Теперь перемножим первые два множителя в левой части уравнения:

x^3 + 6032x^2 + (4020x * 2012) + (4032210 * 2012) = 24.

x^3 + 6032x^2 + 8060400x + 8129264 = 24.

x^3 + 6032x^2 + 8060400x + 8129240 = 0.

Теперь рассмотрим правую часть уравнения, равную 24. Заметим, что 24 является делителем числа 8129240. Раскроем скобки в выражении (x + 24)(x^2 - 24x + 338721).

(x^3 + 6032x^2 + 8060400x + 8129240) = (x + 24)(x^2 - 24x + 338721).

Таким образом, уравнение сводится к:

(x + 24)(x^2 - 24x + 338721) = 0.

Теперь рассмотрим два возможных случая:

1. Если (x + 24) = 0, то получаем решение x = -24.

2. Если (x^2 - 24x + 338721) = 0, то нам нужно решить квадратное уравнение.

Для решения такого уравнения можем воспользоваться формулой дискриминанта, которая гласит D = b^2 - 4ac.

В нашем случае a = 1, b = -24, c = 338721.

D = (-24)^2 - 4*1*338721 = 576 + 4*338721 = 576 + 1354884 = 1355456.

Поскольку дискриминант D положительный, у нас есть два вещественных корня.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2a) = (24 + sqrt(1355456)) / 2.

x1 = (24 + 1164) / 2 = 1188 / 2 = 594.

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2a) = (24 - sqrt(1355456)) / 2.

x2 = (24 - 1164) / 2 = -1140 / 2 = -570.

Таким образом, уравнение (x + 2010)(x + 2011)(x + 2012) = 24 имеет следующие решения в целых числах: x = -24, x = 594 и x = -570.