Как найти частное решение дифференциального уравнения y ln y * xy = 0, учитывая начальное условие y(1) = e? Важно

Чудесная_Звезда

14

Для начала, давайте разберемся с самим дифференциальным уравнением. У нас есть уравнение вида \(y\ln(y)\cdot xy"" = 0\). Заметим, что здесь умножение на 0 даёт нам ноль. Таким образом, мы можем сделать вывод, что либо \(y = 0\), либо \(\ln(y)\cdot xy"" = 0\).

Рассмотрим первый случай, когда \(y = 0\). В таком случае, мы получаем тривиальное решение уравнения, так как константа функция также является его решением. То есть, решением будет \(y(x) = 0\).

Перейдем к рассмотрению второго случая, когда \(\ln(y)\cdot xy"" = 0\). Для решения этого уравнения, мы можем рассмотреть два подслучая: \(\ln(y) = 0\) и \(xy"" = 0\).

Сначала рассмотрим случай \(\ln(y) = 0\). Возведя обе части уравнения в экспоненту, получаем \(y = 1\). Однако, из начального условия \(y(1) = e\) мы видим, что решение \(y = 1\) не удовлетворяет данному условию.

Теперь перейдем к случаю \(xy"" = 0\). Заметим, что эта часть уравнения является линейным дифференциальным уравнением, решение которого можно найти достаточно просто. Решение данного уравнения будет иметь вид \(y(x) = c_1 + c_2x\), где \(c_1\) и \(c_2\) - произвольные постоянные.

Теперь нам нужно учесть начальное условие \(y(1) = e\). Подставим \(x = 1\) и \(y = e\) в выражение для решения, получим \(e = c_1 + c_2\).

Таким образом, частным решением данного дифференциального уравнения будет функция \(y(x) = e - x\), где \(e\) - число Эйлера, с учетом данного начального условия.

Чтобы проверить, что наше решение является корректным, заменим \(y\) на \(e - x\) в исходном дифференциальном уравнении \(y\ln(y)\cdot xy"" = 0\) и убедимся, что оно выполняется.