Как найти корни уравнения X в степени 4 + 2X в степени 3 + 7X во 2 степени + 6X

Adelina

21

Уравнение \(X^4 + 2X^3 + 7X^2 + 6X\) является квадратным тригонометрическим уравнением. Для его решения, нам нужно использовать метод факторизации. Давайте начнем:

Шаг 1: Факторизация общего множителя
Сначала мы можем выделить общий множитель \(X\):

\(X(X^3 + 2X^2 + 7X + 6)\)

Шаг 2: Раскручивание трехчлена
Трехчлен \(X^3 + 2X^2 + 7X + 6\) не является тривиальным для факторизации, поэтому испробуем различные варианты комбинаций корней, чтобы найти его делители. Мы можем применить метод простых корней, чтобы найти один из корней, а затем использовать синтетическое деление, чтобы разложить трехчлен на множители. В данном случае у уравнения отсутствуют видимые целочисленные корни.

Перейдем к методу деления многочленов. Для этого используем потенциальный корень -2 в качестве предполагаемого решения. Выпишем коэффициенты при степенях уравнения для применения синтетического деления:

\[
\begin{array}{c|cccc}
-2 & 1 & 2 & 7 & 6 \\
\end{array}
\]

Теперь проведем синтетическое деление:

\[
\begin{array}{c|cccc}
& 1 & 2 & 7 & 6 \\
-2 & \downarrow & -2 & 0 & -14 \\
\hline
& 1 & 0 & 7 & -8 \\
\end{array}
\]

Полученные остатки от синтетического деления дают нам новый трехчлен \(X^2 + 7\). Возможный корень перед этим трехчленом является мнимым числом, поскольку у нас есть сумма двух неподобных квадратов (\(X^2\) и 7). Поэтому мы можем пропустить этот шаг и перейти к решению квадратного уравнения.

Шаг 3: Решение квадратного уравнения
Мы получили \(X^2 + 7\) как новый трехчлен. Теперь попытаемся решить это квадратное уравнение:

\(X^2 + 7 = 0\)

Вычитаем 7 из обеих сторон уравнения:

\(X^2 = -7\)

Теперь возведем обе стороны в квадрат, чтобы избавиться от отрицательного знака:

\(X = \sqrt{-7}\)

Так как наш корень является комплексным числом, мы можем выразить его в форме имагинерного числа:

\(X = \sqrt{7}i\)

Таким образом, корень уравнения \(X^4 + 2X^3 + 7X^2 + 6X\) равен \(-2\) и \(\sqrt{7}i\).

Пожалуйста, обратитесь за дополнительной помощью, если у вас возникнут еще вопросы.