Как найти локальные экстремумы функции двух переменных z=x^2+y^2-2*lnx-18*lny (x> 0,y>

Chernaya_Meduza_7771

22

Конечно, я могу помочь Вам с решением этой задачи. Для нахождения локальных экстремумов функции двух переменных необходимо найти её частные производные по обеим переменным, приравнять их к нулю и решить полученную систему уравнений.

Давайте начнем сналача с нахождения частной производной по переменной x. Для этого возьмем частную производную от каждого члена функции по x отдельно. Обозначим эту производную через \( \frac{{\partial z}}{{\partial x}} \):

\[
\frac{{\partial z}}{{\partial x}} = 2x - \frac{{2}}{{x}}
\]

Затем найдем частную производную по переменной y. Аналогично, возьмем частную производную от каждого члена функции по y отдельно. Обозначим эту производную через \( \frac{{\partial z}}{{\partial y}} \):

\[
\frac{{\partial z}}{{\partial y}} = 2y - \frac{{18}}{{y}}
\]

Теперь у нас есть две частные производные функции z(x, y). Чтобы найти локальные экстремумы функции, нужно приравнять обе частные производные к нулю и решить полученную систему уравнений. Прорешаем:

\[
\begin{cases}
\frac{{\partial z}}{{\partial x}} = 0 \\
\frac{{\partial z}}{{\partial y}} = 0 \\
\end{cases}
\]

1. Для первого уравнения:

\[
2x - \frac{{2}}{{x}} = 0
\]

Распределим выражение:

\[
2x^2 - 2 = 0
\]

Делим обе части на 2:

\[
x^2 - 1 = 0
\]

Теперь можно решить квадратное уравнение:

\[
x^2 = 1
\]

Возможны два решения:

\[
x = 1 \quad \text{или} \quad x = -1
\]

2. Перейдем ко второму уравнению:

\[
2y - \frac{{18}}{{y}} = 0
\]

Упростим:

\[
2y^2 - 18 = 0
\]

Разделим обе части на 2:

\[
y^2 - 9 = 0
\]

Решим квадратное уравнение:

\[
y^2 = 9
\]

Имеем два возможных решения:

\[
y = 3 \quad \text{или} \quad y = -3
\]

Таким образом, мы получили четыре точки, в которых возможно наличие локальных экстремумов функции \(z(x, y)\):
1. (x, y) = (1, 3)
2. (x, y) = (-1, 3)
3. (x, y) = (1, -3)
4. (x, y) = (-1, -3)

Однако для определения, являются ли эти точки локальными экстремумами, необходимо провести дополнительные исследования, такие как исследование на минимум или максимум с использованием вторых частных производных или построение графика функции.

Надеюсь, что это подробное объяснение помогло Вам понять, как найти локальные экстремумы функции двух переменных. Если у Вас возникнут дополнительные вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать.