Сколько юношей и девушек тренер может выбрать для участия в смешанной эстафете из 15 юношей и 12 девушек, чтобы были

Чудесный_Король_796

6

Для решения данной задачи нам потребуется применить комбинаторику и комбинаторные формулы. Мы должны выбрать 2 юношей из 15 и 2 девушки из 12 для участия в эстафете.

Поскольку порядок выбранных участников не имеет значения, мы можем использовать формулу для сочетаний. Формула для сочетаний без повторений имеет вид:

\[C_n^k = \frac{{n!}}{{k! \cdot (n - k)!}},\]

где \(n\) - общее количество элементов, доступных для выбора, а \(k\) - количество элементов, которые мы выбираем.

В нашем случае, количество юношей равно 15, количество девушек - 12, и мы выбираем 2 юношей и 2 девушки. Поэтому мы можем применить эту формулу дважды.

Для выбора 2 юношей из 15 мы можем написать:

\[C_{15}^2 = \frac{{15!}}{{2! \cdot (15 - 2)!}}.\]

Вычислим значение:

\[C_{15}^2 = \frac{{15!}}{{2! \cdot 13!}} = \frac{{15 \cdot 14}}{{2}} = 15 \cdot 7 = 105.\]

Таким образом, мы можем выбрать 2 юношей из 15 способами.

Теперь воспользуемся формулой для выбора 2 девушек из 12:

\[C_{12}^2 = \frac{{12!}}{{2! \cdot (12 - 2)!}}.\]

Вычислим значение:

\[C_{12}^2 = \frac{{12!}}{{2! \cdot 10!}} = \frac{{12 \cdot 11}}{{2}} = 6 \cdot 11 = 66.\]

Таким образом, мы можем выбрать 2 девушек из 12 способами.

Чтобы определить, сколько юношей и девушек тренер может выбрать для смешанной эстафеты, мы должны умножить количество возможностей выбрать юношей и девушек:

Количество возможных комбинаций \(= C_{15}^2 \cdot C_{12}^2 = 105 \cdot 66 = 6930.\)

Таким образом, тренер может выбрать 2 юношей из 15 и 2 девушек из 12 для участия в смешанной эстафете с помощью 6930 различных комбинаций.