Как найти общий вид первообразной для функции f(x)=(4-5x)^7?

Щелкунчик

34

Хорошо, для начала давайте найдем первообразную функцию \( F(x) \) для данной функции \( f(x) = (4-5x)^7 \).

Для решения этой задачи мы будем использовать формулу для нахождения первообразной степенной функции. Формула гласит:

\[ \int x^n \,dx = \frac{{x^{n+1}}}{{n+1}} + C, \]

где \( n \) - целое число, и \( C \) - постоянная интегрирования.

Применим эту формулу для нахождения первообразной \( F(x) \) для функции \( f(x) = (4-5x)^7 \).

Найдем производную функции \( F(x) \) и проверим, является ли она исходной функцией \( f(x) \):

\[ F"(x) = \frac{{d}}{{dx}}\left( \frac{{(4-5x)^8}}{{8}} \right) = (4-5x)^7 \cdot \frac{{d}}{{dx}}\left( \frac{{4-5x}}{{8}} \right) = (4-5x)^7 \cdot (-5) = -(5x-4)^7 \cdot 5. \]

Поскольку \( F"(x) \) совпадает с функцией \( f(x) \), мы убедились, что \( F(x) \) является первообразной для \( f(x) \).

Таким образом, общий вид первообразной для функции \( f(x) = (4-5x)^7 \) будет:

\[ F(x) = -\frac{{(5x-4)^8}}{{40}} + C, \]

где \( C \) - произвольная постоянная.