Как найти общий вид первообразной для функции f(x)=(4-5x)^7?

Щелкунчик

34

Хорошо, для начала давайте найдем первообразную функцию $F(x)$ для данной функции $f(x)=(4-5x{)}^7$.

Для решения этой задачи мы будем использовать формулу для нахождения первообразной степенной функции. Формула гласит:

$$\int x^{n}dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C,$$

где $n$ - целое число, и $C$ - постоянная интегрирования.

Применим эту формулу для нахождения первообразной $F(x)$ для функции $f(x)=(4-5x{)}^7$.

Найдем производную функции $F(x)$ и проверим, является ли она исходной функцией $f(x)$:

$$F"(x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{(4-5x{)}^8}{8}\right)=(4-5x{)}^7\cdot \frac{d}{dx}\left(\frac{4-5x}{8}\right)=(4-5x{)}^7\cdot (-5)=-(5x-4{)}^7\cdot 5.$$

Поскольку $F"(x)$ совпадает с функцией $f(x)$, мы убедились, что $F(x)$ является первообразной для $f(x)$.

Таким образом, общий вид первообразной для функции $f(x)=(4-5x{)}^7$ будет:

$$F(x)=-\frac{(5x-4{)}^8}{40}+C,$$

где $C$ - произвольная постоянная.