Как найти первообразную функции f(x)=3x^3-4x^2?

Магнитный_Пират_3697

3

Для нахождения первообразной функции \( f(x) = 3x^3 - 4x^2 \), мы будем использовать правила дифференцирования и интегрирования, а именно, те правила, которые позволяют нам обратно преобразовывать производные в исходные функции.

Для начала, давайте применим правило интегрирования для каждого слагаемого по отдельности.

1. Слагаемое \(3x^3\):
Чтобы найти первообразную этого слагаемого, мы используем формулу:
\[ \int x^n dx = \frac{{x^{n+1}}}{{n+1}} + C \]
где \(C\) - это постоянная интегрирования. Применяя эту формулу к \(3x^3\), получим:
\[ \int 3x^3 dx = \frac{3}{4}x^4 + C_1 \]

2. Слагаемое \(-4x^2\):
Аналогично применяем формулу интегрирования:
\[ \int x^n dx = \frac{{x^{n+1}}}{{n+1}} + C \]
Применяя формулу к \(-4x^2\), получим:
\[ \int -4x^2 dx = -\frac{4}{3}x^3 + C_2 \]

3. Теперь объединим полученные ответы:
\[ \int (3x^3 - 4x^2) dx = \frac{3}{4}x^4 + C_1 - \frac{4}{3}x^3 + C_2 \]

Итак, первообразная функции \( f(x) = 3x^3 - 4x^2 \) равна:
\[ F(x) = \frac{3}{4}x^4 - \frac{4}{3}x^3 + C \]

где \( C = C_1 + C_2 \) - это произвольная постоянная.

Надеюсь, это пояснение поможет вам понять процесс нахождения первообразной функции!