Какая будет производная функции y=x^3*lnx+ln4?

Sharik_8355

7

Для начала давайте найдем производную функции \(y = x^3 \ln x + \ln 4\). Для этого воспользуемся правилом дифференцирования суммы и произведения функций.

Шаг 1: Разделим функцию на две части - \(y_1 = x^3 \ln x\) и \(y_2 = \ln 4\).

Шаг 2: Найдем производную первой части \(y_1\). Применим правило производной произведения функций:
\(\frac{d}{dx}(x^3 \ln x) = \frac{d}{dx}(x^3) \ln x + x^3 \frac{d}{dx}(\ln x)\).

Шаг 3: Рассмотрим первое слагаемое \(\frac{d}{dx}(x^3) \ln x\). Используем правило производной степенной функции:
\(\frac{d}{dx}(x^3) = 3x^2\).

Шаг 4: Рассмотрим второе слагаемое \(x^3 \frac{d}{dx}(\ln x)\). В данном случае мы имеем произведение функции \(x^3\) и производной от \(\ln x\). Производная от \(\ln x\) равна \(\frac{1}{x}\), поэтому получаем:
\(x^3 \frac{d}{dx}(\ln x) = x^3 \cdot \frac{1}{x} = x^2\).

Шаг 5: Теперь сложим результаты шагов 3 и 4 для получения производной первой части \(y_1\):
\(\frac{d}{dx}(x^3 \ln x) = 3x^2 \ln x + x^2\).

Шаг 6: Теперь найдем производную второй части \(y_2\). Так как \(\ln 4\) - это константа, ее производная равна нулю:
\(\frac{d}{dx}(\ln 4) = 0\).

Шаг 7: Сложим производные обеих частей:
\(\frac{d}{dx}(y_1) + \frac{d}{dx}(y_2) = 3x^2 \ln x + x^2 + 0 = 3x^2 \ln x + x^2\).

Итак, производная функции \(y = x^3 \ln x + \ln 4\) равна \(3x^2 \ln x + x^2\).