Как найти производную функции: 1)y=12x в квадрате-корень х 2)y=sin?

Манго

47

Хорошо, давайте решим задачу по нахождению производной функций.

1) Для начала рассмотрим функцию \(y = 12x^2 - \sqrt{x}\). Чтобы найти производную этой функции, мы можем использовать правило дифференцирования степенной функции и правило дифференцирования функции с корнем.

Начнем с первого слагаемого \(12x^2\). Для функции вида \(y = ax^n\), где \(a\) и \(n\) - константы, производная вычисляется с помощью следующего правила: производная равна произведению константы \(a\) и степени \(n\) переменной \(x\) в степени \(n-1\), то есть \(y" = anx^{n-1}\).

Применяя это правило, получаем:
\[\frac{d(12x^2)}{dx} = 2 \cdot 12x^{2-1} = 24x.\]

Теперь рассмотрим второе слагаемое \(-\sqrt{x}\). Для функции вида \(y = \sqrt{x}\), производная может быть найдена с помощью формулы: \(\frac{d(\sqrt{x})}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{x}}\).

Применяя это правило, получаем:
\[\frac{d(-\sqrt{x})}{dx} = - \frac{1}{2\sqrt{x}}.\]

Теперь мы можем сложить значения производных обоих слагаемых, чтобы найти производную всей функции:
\[y" = \frac{d(12x^2)}{dx} + \frac{d(-\sqrt{x})}{dx} = 24x - \frac{1}{2\sqrt{x}}.\]

Итак, производная функции \(y = 12x^2 - \sqrt{x}\) равна \(24x - \frac{1}{2\sqrt{x}}\).

2) Теперь рассмотрим функцию \(y = \sin{x}\). Чтобы найти производную этой функции, мы можем использовать правило дифференцирования синуса.

Для функции вида \(y = \sin{x}\), производная равна \(\frac{d(\sin{x})}{dx} = \cos{x}\).

Таким образом, производная функции \(y = \sin{x}\) равна \(\cos{x}\).

Надеюсь, это подробное объяснение помогло вам понять, как найти производную этих функций. Если есть еще вопросы, не стесняйтесь задавать!