Как найти шестой член и знаменатель геометрической прогрессии с положительными членами, если известны значения b5

Лия_3398

23

Шестой член геометрической прогрессии можно найти, используя формулу общего члена прогрессии:

\[a_n = a_1 \cdot q^{(n-1)}\]

где \(a_n\) - n-ый член прогрессии, \(a_1\) - первый член прогрессии, \(q\) - знаменатель прогрессии, а \(n\) - номер члена прогрессии, который хотим найти.

Нам известно значение \(b_5 = 12\). Возьмем это значение за \(a_5\) и найдем \(a_1\) и \(q\). Затем, подставим эти значения в формулу, чтобы найти шестой член прогрессии.

1. Для начала, найдем \(a_1\). Для этого, нам необходимо выразить \(a_1\) через \(a_5\) и \(q\). Используем формулу для пятого члена прогрессии:

\[a_5 = a_1 \cdot q^4\]

Подставим значение \(a_5 = 12\) и получим уравнение:

\[12 = a_1 \cdot q^4\]

2. Теперь, найдем \(q\). Разделим обе части уравнения на \(a_1\):

\[\frac{{12}}{{a_1}} = q^4\]

3. Так как нам известно только значение пятого члена прогрессии, мы не можем найти точные значения для \(a_1\) и \(q\). Но мы можем найти их отношение, чтобы использовать его для нахождения шестого члена прогрессии.

4. Подставим это отношение в формулу общего члена прогрессии:

\[a_6 = a_1 \cdot q^5\]

Вместо \(a_1\), мы можем подставить \(\frac{{12}}{{q^4}}\). Получим формулу для нахождения шестого члена прогрессии:

\[a_6 = \frac{{12}}{{q^4}} \cdot q^5\]

5. Простое сокращение позволит нам найти более простую формулу для шестого члена:

\[a_6 = 12 \cdot q\]

Таким образом, шестой член прогрессии равен \(12q\), где \(q\) - знаменатель геометрической прогрессии.

Теперь, чтобы найти знаменатель прогрессии, нам нужно найти значение \(q\).

Выше мы нашли, что \(\frac{{12}}{{a_1}} = q^4\). Но значение \(a_1\) нам неизвестно. Однако, мы можем использовать известное значение \(b_5 = 12\) для нахождения отношения \(\frac{{a_1}}{{a_5}}\):

\[\frac{{a_1}}{{a_5}} = \frac{{q^4}}{{1}}\]

Подставим значение \(b_5 = 12\) вместо \(a_5\):

\[\frac{{a_1}}{{12}} = q^4\]

Теперь мы можем найти значение \(q^4\) с помощью этого уравнения. Возведем обе части в 1/4 степень:

\[(\frac{{a_1}}{{12}})^{1/4} = q\]

Таким образом, знаменатель \(q\) равен \((\frac{{a_1}}{{12}})^{1/4}\).

Соединяя все вместе, шестой член прогрессии можно найти, используя формулу \(a_6 = 12 \cdot q\), а знаменатель \(q\) можно найти, используя формулу \(q = (\frac{{a_1}}{{12}})^{1/4}\).