Какова область определения функции y=√(6x-x²+3)/√x?

Смурфик

15

Чтобы найти область определения функции \(y = \frac{\sqrt{6x - x^2 + 3}}{\sqrt{x}}\), нам нужно учесть два фактора. Во-первых, функция имеет квадратные корни, поэтому должно выполняться условие, что выражение под корнем не может быть отрицательным или нулевым. Во-вторых, знаменатель \(\sqrt{x}\) должен быть ненулевым.

Давайте разберем эти два фактора более подробно.

1. Выражение под корнем. Для того чтобы \(6x - x^2 + 3\) было неотрицательным, его дискриминант (\(\Delta\)) должен быть меньше или равен нулю: \(\Delta \leq 0\). Решим это уравнение:

\[
\begin{align*}
\Delta & = b^2 - 4ac \\
& = (-1)^2 - 4 \cdot (-1) \cdot (6) \\
& = 1 + 24 \\
& = 25
\end{align*}
\]

Таким образом, \(\Delta = 25\) положительно, что значит, что уравнение \(6x - x^2 + 3\) имеет два корня. Когда \(\Delta > 0\), это означает, что выражение \(6x - x^2 + 3\) отрицательно в некотором интервале значений \(x\). Так как мы не можем брать квадратный корень из отрицательного числа, то этот интервал значений \(x\) не входит в область определения функции.

2. Знаменатель \(\sqrt{x}\). Поскольку знаменатель не может быть нулевым, необходимо исключить значение \(x = 0\) из области определения.

Итак, чтобы найти область определения данной функции, мы должны объединить все значения \(x\), которые удовлетворяют обоим условиям. Поскольку мы не можем взять корень из отрицательного числа и не можем делить на ноль, область определения будет следующей:

\[
x \in \left(0,\frac{6-\sqrt{21}}{2}\right) \cup \left(\frac{6+\sqrt{21}}{2},+\infty\right)
\]

Таким образом, функция \(y = \frac{\sqrt{6x - x^2 + 3}}{\sqrt{x}}\) определена при \(x\) из указанного интервала.