Как найти точку минимума функции y= (x^2-9x+ 9) *e^ x+27?

Якорица

67

Хорошо, чтобы найти точку минимума функции, нужно воспользоваться производной. Давайте найдем производную функции \(y\) по переменной \(x\) и приравняем ее к нулю, чтобы найти критические точки. Затем проверим вторую производную, чтобы убедиться, что это точка минимума.

Шаг 1: Найдем производную функции \(y\) по переменной \(x\).
\[y = (x^2 - 9x + 9)e^x + 27\]

Для удобства вычислений воспользуемся правилом производной для произведения двух функций:
\[\frac{d}{dx}(u \cdot v) = u" \cdot v + u \cdot v"\]

Применим это правило к нашей функции:
\[\begin{align*}
y" &= \frac{d}{dx}[(x^2 - 9x + 9)e^x] + \frac{d}{dx}[27]\\
&= (2x - 9)e^x + (x^2 - 9x + 9)e^x + 0\\
&= (x^2 - 7x + 9)e^x
\end{align*}\]

Шаг 2: Приравняем \(y"\) к нулю и решим уравнение для поиска критических точек:
\[(x^2 - 7x + 9)e^x = 0\]

Заметим, что экспонента \(e^x\) никогда не равна нулю, поэтому у нас остается только квадратное уравнение:
\[x^2 - 7x + 9 = 0\]

Мы можем решить его с помощью квадратного корня или метода факторизации. В этом случае воспользуемся формулой для корней:
\[x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\]

Для уравнения \(x^2 - 7x + 9 = 0\) коэффициенты равны \(a = 1\), \(b = -7\), \(c = 9\).
Вычислим:
\[x = \frac{-(-7) \pm \sqrt{(-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}\]
\[x = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 36}}{2}\]
\[x = \frac{7 \pm \sqrt{13}}{2}\]

Итак, у нас есть два значения \(x\): \(x = \frac{7 + \sqrt{13}}{2}\) и \(x = \frac{7 - \sqrt{13}}{2}\). Это две критические точки нашей функции.

Шаг 3: Проверим вторую производную в этих точках. Если \(y""\) положительна, то это точка минимума. Если \(y""\) отрицательна, это точка максимума, и если \(y""\) равна нулю, то это точка перегиба.

Вычислим \(y""\) для нашей функции:
\[y"" = \frac{d^2}{dx^2}[(x^2 - 7x + 9)e^x]\]
\[y"" = (2 - 7)e^x + (x^2 - 7x + 9)e^x\]
\[y"" = (x^2 - 5x + 2)e^x\]

Подставим наши критические точки \(x = \frac{7 + \sqrt{13}}{2}\) и \(x = \frac{7 - \sqrt{13}}{2}\) в \(y""\) для проверки:

Для \(x = \frac{7 + \sqrt{13}}{2}\):
\[y"" = (\left(\frac{7 + \sqrt{13}}{2}\right)^2 - 5\left(\frac{7 + \sqrt{13}}{2}\right) + 2)e^{\frac{7 + \sqrt{13}}{2}}\]
\[y"" = (\frac{61 + 14\sqrt{13} + 13}{4} - \frac{35 + 5\sqrt{13}}{2} + 2)e^{\frac{7 + \sqrt{13}}{2}}\]
\[y"" = (\frac{74 + 9\sqrt{13}}{4} - \frac{70 + 10\sqrt{13}}{4} + 2)e^{\frac{7 + \sqrt{13}}{2}}\]
\[y"" = \frac{6 - \sqrt{13}}{4}e^{\frac{7 + \sqrt{13}}{2}}\]

Для \(x = \frac{7 - \sqrt{13}}{2}\):
\[y"" = (\left(\frac{7 - \sqrt{13}}{2}\right)^2 - 5\left(\frac{7 - \sqrt{13}}{2}\right) + 2)e^{\frac{7 - \sqrt{13}}{2}}\]
\[y"" = (\frac{61 - 14\sqrt{13} + 13}{4} - \frac{35 - 5\sqrt{13}}{2} + 2)e^{\frac{7 - \sqrt{13}}{2}}\]
\[y"" = (\frac{74 - 9\sqrt{13}}{4} - \frac{70 - 10\sqrt{13}}{4} + 2)e^{\frac{7 - \sqrt{13}}{2}}\]
\[y"" = \frac{6 + \sqrt{13}}{4}e^{\frac{7 - \sqrt{13}}{2}}\]

Итак, мы получили значения \(y""\) для обеих критических точек. Подставив эти значения, мы видим, что \(y""\) положительна как для \(x = \frac{7 + \sqrt{13}}{2}\), так и для \(x = \frac{7 - \sqrt{13}}{2}\).

Это означает, что оба значения \(x\) соответствуют точкам минимума функции \(y\). Точка минимума \(P\) будет иметь координаты \(\left(\frac{7 + \sqrt{13}}{2}, y\left(\frac{7 + \sqrt{13}}{2}\right)\right)\), а точка минимума \(Q\) будет иметь координаты \(\left(\frac{7 - \sqrt{13}}{2}, y\left(\frac{7 - \sqrt{13}}{2}\right)\right)\).

Таким образом, мы нашли точки минимума функции \(y = (x^2 - 9x + 9)e^x + 27\) и предоставили все необходимые шаги для их нахождения.